数Bの数学的帰納法です。 どのようにやったら紫マーカのところの式になりますか？ 教えてください🙇⋱

81 証明すべき等式を (A) とする。 ( (1) [1] n=1のとき+0fd 左辺 = 1, 1 右辺 =.1·(3·1-1)=1 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち 1+4+7+…+(3k-2)=1/2k(3k-1) が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの (A) の左辺は E= 1 + 4 +7 + … + (3k-2) +{3(k+1)-2} よって Stand=152 = 2 -k(3k-1)+(3k+1) {k(3k-1)+2(3k+1 1 1 = = (3k²+5k+2)=(k+1)(3k+2) n=k+1のときの(A) 右辺は (k+1)3(k+1)-1)=1/2(k+1)(3k+2) (I) S- よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。

最大、最小の問題についての質問です。紫のアンダーラインを引いたところにxは実数よりとあるのですが、xは実数とは問題分のどこにも書いていない気がします。どこからこれが出てきたんでしょうか？

Focus 106 第2章 高次方程式 Think 例題 49 判別式による最大・最小 **** x-1 x2+3 の最大値、最小値と,そのときのxの値を求めよ. 考え方 与えられた式を「=k」 とおき 式を整理する。 (次ページ 「Story」 参照 ) xが実数である条件から、判別式 D≧0 を利用して, のとる値の範囲を考える. なお、式を整理した後(i) = 0.) k0 で場合分けをする。 解答 x-1 =k とおく x2+3 (整理した式は2次方程式とは限らない) まずは,「=」と < +30より両辺に+3 を掛けて, x-1=k(x2+3) kx2-x+3k+1=0 ...... ① (i) k=0 のとき 今の 2次方程 とは限らない . x+1=0 より x=1 (i) = 0 のとき xは実数より 2次方程式 ① は実数解をもつ. よって、 2次方程式①の判別式をDとすると, D≧0 D=(-1)2-4k(3k+1) 86=-12k²-4k+1 したがって, -12k2-4k+1≧0 D≧0 となり, ①が 実数解をもつんの値 の範囲を求める。 12k²+4k-1≦0 (2k+1)(6k-1)≦0 k=1/2のときより、x= =3 2k 1 2k よって, 最大値1/(x=3のとき) *0.-≤k≤ (k=0) したがって、(i), (i)より、12ks/ k=-1/2 のとき,①より、x= -=-1 kの値の範囲より、 最大値,最小値を求 める. k=- 1のとき. 2'6 D=0 より ①は重 解をもつ. 最小値 12 (x=-1 のとき) ax+bx+c=0(aq=0) b 重解はx=- 20 (与えられた式) xが実数であることから, とおき, 判別式 D≧0 を利用する 練習 2(x-1) 49 **** -2x+2 の最大値、最小値と,そのときのxの値を求めよ.

高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... 続きを読む

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

二次関数についての質問です。⑸で何故D>０の条件が書かれていないのか分かりません。⑶で不必要な理由はわかりますが、何故⑸でも不必要なのでしょうか？

104 第2章 高次方程式 Think 例題 48 2次方程式の解の存在範囲 **** 大阪届いての2次方程式」がどのような異なる2つ (3) 異符号(1つが正で,他が負) の実数解をもつとき、定数りの値の範囲を求めよ。ただし、わは実数とする。 (1) ともに正 (2)ともに (4) ともに1より大きい (5) 1つは1より大きく、他は1より小さい 考え方 2次方程式の異なる2つの実数解 α β について, (1)α,βがともに正⇔D>0, α+3>0.3>0 (2)α,βがともに負⇔D>0.α+β<0,aβ>0 ⇒ aβ<0 α β 符号 (3) (4) α. βがともに1より大きい⇔D>0 (α-1)+(β-1)>0, (α-1) (3-1)>0 (5) αβのうち、1つは1より大きく, 他は1より小さい 解答 x-2px+p+6=0の解を α β とする. α+β=2p, aβ=p+6 解と係数の関係より [[]] A (1) 2次方程式 x 2px+p+6=0 の判別式をDとす ると,α. β は異なる2つの実数解であるから,D>0 である. p²-(p+6)=p²-p−6=(p+2)(p−3) D 4 (p+2)(3)>0より (a−1)(8-1)<0 α β は実数 a+ß>0, aß>0€ Focus より (a- (a よって 3 a. B (5) さいとき ( よって 2次方 25555 8 a, α, a, p<-2, 3<p......① あっても,α,βが実数 とならない場合(たとえ ば a=1+i, ß=1-i) があるので,D>0の条 件が必要である. a. α+β=2p>0より, >0 ② 注〉x2-2px y=x'+ aβ = p+6>0 より よって ① ② ③より, p>3 p>-6 ③ ③ (2 ① -6 -2 0 このこ 実数解 (1) α. βがともに正より,α+β>0,αB>0 3 p (2) α β は異なる2つの実数解であるから, (1) より p<-23<p ......① α βがともに負より, α+B<0.a>0 α+β=2p<0 より, 38 aẞ=p+6>0. p<0 ・・・・・・② p-6.......③ LD S よって, ① ② ③より, -6<p<-2 ③ ② +d ① -6 -20 3 p (3) αβは異符号だから. aB<0 p<-6 よって, p<-6 aβ=p+6<0 より (4)α,βは異なる2つの実数解であるから (1) より p<-2,3<p ...① αβがともに1より大きいから (-1)+(-1)>0(α-1)(3-1)>0 2-(a+β)x+αβ=0 の解は α,βで,この判 別式をDとすると aβ< 0 ならば D=(a+β)2-4a>0 となるためD>0 の条 件は必要ない。 また、 ない. βの符号は定まら (4) (00)0-320- 煉4 練習 xo ∞* *** 48 (1)

（3）の問題です。解説をみたのですが、黄色の線を引いたところです！ この4はどこから出できたのでしょうか？教えて欲しいです🙇‍♀️

重要 例題 33 同じものを含む円順列・じゅず順列 00000 ガラスでできた玉で, 赤色のものが6個, 黒色のものが2個, 透明なものが1 個ある。 玉には,中心を通って穴が開いているとする。 (1)これらを1列に並べる方法は何通りあるか。合 (2)これらを円形に並べる方法は何通りあるか。 (3) これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。 CHART & THINKING 基本18, 重要 22 (2)円形に並べるときは,1つのものを固定の考え方が有効。固定した玉以外の並び方を 考えるとき,どの玉を固定するのがよいだろうか? (3)「首輪を作る」とあるから,直ちに じゅず順列=円順列 2 でよいだろうか? すべて異なるもの なら、じゅず順列で解決するが,ここで は,同じものを含むからうまくいかない。 その理由を右の図をもとに考えてみよう。 答 000 左右対称 裏返すと同じ人 0 OL 9! 9.8.7 -=252 (通り) 同じものを含む順列。 6!2! 2.1 (1) 1列に並べる方法は (2)透明な玉1個を固定して、残り8個を並べると考えて 8! 8・7 -=28(通り) 6!2! 2.1 (3)(2)の28通りのうち,図 [1] のように 4通り [1] 左右対称になるものは よって,図[2]のように左右対称でない 円順列は 19文の [2] 赤玉6個、黒玉2個を1 列に並べる場合の数。 inf. (2) について, 解答編 p.213 にすべてのパターン の図を掲載した。 左右対称 でないものは、裏返すと一 致するものがペアで現れる ことを確認できるので参照 してほしい。 307 1章 3 組合せ 28-424 (通り) この24通りの1つ1つに対して, 裏 返すと一致するものが他に必ず1つ ずつあるから,首輪の作り方は 24 4+ =16(通り) 2 PRACTICE 330 する これらを1列に並べる方法は の下にひもを通し、

確率についての質問です。紫で囲った和が5であり、積が6である確率を、自分は一枚目の写真のように考えたのですが、この考えが間違っている理由を教えて欲しいです。1/18となるのは分かります。でも何故1/9×1/9ではダメなのか教えてほしいです。

目の和がらかつ積が6の確率 目の和がらの確率× 目の積が6の確率 よってすす 81

なぜa≦2≦a+1は1≦a≦2になるのかが分かりません🥹 教えて頂けませんか🙇🏼‍♀️

参考にしたいので教えてください。

(3) 例を参考にして、 日本の伝統文化を紹介する文を英語で書きましょう。 [例] Sado is a traditional Japanese tea ceremony. It has a particular way of serving green tea. You can enjoy a traditional Japanese sweet, too.

(1)について、なぜ私の答案のように、二式を足すと答えが出ないのでしょうか。

12 漸化式/誘導つき (置き換え ) 数列{an},{bm}は,初項がα=1, b1=0であり,次の関係式を満たす. an+1=5an+46m, bn+1=an+56m (n=1, 2, 3, ...) (1) an+1+abn+1=β(an+abn) (n=1, 2, 3, ...) を満たす実数αとβの組を2つ求めよ. (2) 数列{an}, {bm} の一般項を求めよ. (3) 24を求めよ. (徳島大 総科, エー後) k=1 数列の置き換え 数列を置き換えて,一般項の求めやすい形にする. 等比数列に帰着できるような 誘導がついていることが多い. 典型題に慣れておこう. 連立漸化式 an+1=pan+gbn...... ア, bn+1=gan+pbn イ の形の連立漸化式はノーヒントで 出題されることがある.これは,+から{ay+b,}, アイから{an-bn}が等比数列になり解決する. 解答 (1) n+1=5an+46n, bn+1=an+56m より, an+1+αbn+1=(5an+46m)+α(an+5bw)=(5+α)an+(4+5a)bn これがβ(an+abn) に一致すればよいので 5+α=β,4+5α = aβ βを消去して, 4+5α=α(5+α) よって, (α, β)=(2,7), (-2,3) .. α2=4 α=±2 ←一般に,このような連立漸化式は, これを満たすα, β を求めること で,一般項を求めることができる.

解説を見てもよくわからなかったので詳しく教えてほしいです💦 特に画像で線を引いたところでなんでここの過程が出てくるのか教えてください😢

教 p.130 tan0=-2のとき, sin と costの値を求めよ。 問1 指針 三角関数の相互関係tan0 < 0 であるから, 0は第2象限または第4象限の 角である。 cose の値は1+tan20= 1 COS20 sin 0 の値は sin0=cosOtand をそれぞれ利用して求める。 解答 tan00より, 0の動径は第2象限または第4象限にある。 0の動径が第2象限にあるとき cos0 <0 1 1+tan20= から COS20 1 COS 6=- 1 1 √5 また 1+tan20 * sin 0=cos 0tan 0 = 1+(-2)2 2 1/15 (-2) = 1/7/5 0の動径が第4象限にあるとき cos>0 よって cosθ= 1 = 1+tan20 sin 0=cos 0tan 0= 1 √5 1+(-2)^ √5 1/15 (-2) 1 == 2 √5 √√5