数学 三角関数の点の回転の範囲です 青チャートの練習148番で、正の向きとのなす角をαにするのはわかるのですが、 -2=rcosα、3=rsinα になる意味がわかりません 三角比の変形なんだと思うのですが、その場合って180-αとかにはならないのですか？ Pが第二象限に... 続きを読む

20 15 10 研究点の回転 加法定理を利用すると, 座標平面上の点を, 原点 0 を中心として一定 の角のだけ回転させた点の座標が求められる。 1点P(2,4)を, 原点Oを中心とし てだけ回転させた点Qの座標 を (x,y) とする。 OP=r とし,動径 OP とx軸の正 の向きとのなす角を α とすると 2=rcosa, 4=rsina また,OQ=r で, 動径OQ とx軸 の正の向きとのなす角はα+5 加法定理により π x=rcus (a+1/4), y=rsin(o+号) x =rcos a COS =1-2√3 3 Q(x, y) であるから = 2+√3 したがって Qの座標は π A-rsinasin 4 = 2.123-4.23 √3 =2・ y=rsinacos+rcosasin=4. 3 1点P(32) , 原点Oを中心として 求めよ。 3 Ay (1-2√3, 2+√3) 11/12 +2・・ a √3 2 P(2, 4) X 第4章 三角関数 だけ回転させた点Qの座標を

(2)でどうやって赤線部分になったのかが分からないです。教えてください。1行目は分かります。

D 79 三角形の形状決定 次の等式が成りたつとき, ABCはどのような三角形か. (1) asin A+bsinB=csinC (2) acos A+ bcos B=ccos C 精講 三角形の形状を決定するときは,正弦定理, 余弦定理を用いて, 辺だけの関係式 にします。 解答 (1) 外接円の半径をRとすると, 正弦定理より, a² 62 C² 2R 2R 2R :: a² + b² = c² よって, AB を斜辺とする直角三角形. 注単に「直角三角形」 ではいけません. どこが斜辺か, あるいは直角 かをつけ加えなければなりません. (2) 余弦定理より a(b²+c²− a²) b(c²+a²−b²) _c(a²+b²− c²) + 2bc 2ca 2ab :. a²(b²+c²-a²) + b²(c² + a²-b²)=c²(a²+ b²-c²) + 演習問題 79 133 Sindは正弦定理 CosDは余弦定理を用いる。 sing- int-32 SinB = DR, Sin C = 2R .. c¹-(a-2a²b²+6¹)=0 ..c(a²-62)2=0 :. (c² + a²-b²) (c²-a²+ b²)=0 したがって, 62=c^2+α² または d²=62+c2 よって, AC または BC のいずれかを斜辺とする直角三角形. cosA=b²+c²-a² 2bc ポイント 三角形の形状決定は,正弦定理、余弦定理を用いて辺 と角の混合型を辺だけの関係式になおす △ABCにおいて, btan A = atan B が成りたっているとき,こ の三角形はどのような三角形か. 第4章

一番下の練習8の問題で1400の約数の個数と約数の和は分かったのですが、1400の偶数の個数が分かりません。解説お願いします。

基本例題 8 約数の個数と総和 540 の正の約数は全部で何個あるか。 また, その約数の和を求めよ。 指針正の約数の個数や和についての問題では,素因数分解からスタートする。 また, 0でない実数に対し p=1 と定義される (数学ⅡIで学習)。 このことも利用し て, 12 すなわち2・3の場合で考えてみよう。 解答 検討 12の正の約数は 2.3% (a=0, 1,2;6=0, 1) の形で表され,その個 数は、右の樹形図から 20-30, 20-3¹, 2¹.30, 2¹.3¹, 2².30, 2².3¹ の6個あり,これらのすべての和は 2° 3°+2°・3' +2'・3° +2'・3' +2・3°+2・31 =2°(3°+3') +2'(3°+3') +22(3°+31) 540=22･33･5であるから, 540 の正の約数は, a=0, 1, 2;6=0,1,2,3; c=0, 1 として 2･3・5° と表される。 (約数の個数) αの定め方は3通り。 そのおのおのについて,6の定め方は4通り。 更に, そのおのおのについて,cの定め方は2通りある。 よって,積の法則により 3×4×2=24 (個) ( 約数の和) 540 の正の約数は (1+2+2²)(1+3+3²+3³)(1+5) ...... を展開した項にすべて現れる。 よって, 求める和は (1+2+2²)(1+3+3² +3³)(1+5) =7×40×6=1680 2⁰=1 3°=1 5°=1 2⁰. 22. 約数の個数と総和(第4章でも学習する) 自然数Nを素因数分解した結果がN = pag're であるとき, Nの =(2°+2'+22)(3°+31)=(1+2+22)(1+3) つまり, 22･3の約数は を展開したすべてに現れ, もれも重複もない｡ したがっ て, 約数の個数は, 多項式を展開したときの項の数 [基本例題 7 (2)] と同じになる。 よって, 22･3の約数の個数は (2+1)x(1+1)=6 これと同様に考えればよい。 基本7 2)540 2) 270 3) 135 3 45 3) 15 5 -3⁰ -3¹ 30 -3¹ -3° -3¹ < (*) を展開したときの 項の数を求めることと同 じ。なお、 2×3×16 (個) のよう な誤りをしないように。 正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1) 正の約数の総和は(1++ (1+g++α)(1+r++r) +p) 正の約数の個数や和を求める問題では, 素因数分解をした後に,このことを直接利用した 解答でもよい。 例えば、上の例題の約数の個数は (2+1)(3+1)(1+1)=24(個) のような解答でもよい。 考え方は上の解答の 約数の個数) と同様。 [練習 1400 の正の約数の個数と、 正の約数の和を求めよ。 また, 1400 の正の約数のうち偶 ②8 数は何個あるか。 p.357 EX7

0≦θ≦90の時と書いてあるのに 丸で囲った所すべて90を超えて180となっています。 なぜですか？ 【2】です。 優しい方詳しく説明教えてください！

122 第4章 図形 間 71 三角方程式(I) (ii) 2cos0+√2=0 (10505180°のとき、次の方程式を解け . (i) 2sin0=√3 (iii) 3 tan 0-1=0 (2)0° 090°のとき、次の方程式を解け . (i) 2sin20=1 ( (ii) tan20+√3=0 2cos20-√3=0

tanは傾きだとすると、tanα＝-a/x、tanβ-b/xにならない理由を教えてください。

186 第4章 三角関数 標問 82 2直線のなす角 座標平面上に, 3点A(0, a), B(0, b), P(x, 0) がある.ただし a>b>0,x>0とする. (1) tan ∠APB を α, b, x を用いて表せ. (2) 点Pがx軸の正の部分を動くとき, ∠APB を最大にするこの値を! bを用いて表せ. 精講 方としては ∠APBは2直線AP, BP のなす角 (鋭角) です. 2直線のなす角の扱い tan の加法定理を利用する 内積を利用する といった方法が考えられます 解法のプロセス 2直線のなす角θ ↓ 2直線の傾き mi, Ma ↓ (m₁m₂+-10% tan0=t = tan a- 1+tar (2) x>0 0 <6 a を求 IC

数2です。三角方程式の解の個数を求める問題です。(ⅰ)a≦2から下にあるやつで、なんでf(1)≧9を求めてるかが分かりません。誰か親切な方教えてください。

第4章 三角関数 このときはf(t)=(1-25 となり、f(t)の 232 (-1)=-(-1-2)+5=-4 (1)~(個より、最大が4となるαの値はα=±2 で、この とき、最小値は、 139 の数をaの値の範囲によって調べよ。 ただし, 00<2πとする。 を定数とする8に関する方程式 sin'0+2acos0+a-3=0 について,この方程式の (1-cos²0)+2acos0+α-3=0 ① 1 与式より. ここで、 cosf=1 とおくと. -15151 また、t=-1,1のとき､ 対応する日の値は1個 -1 <t<1 のとき, 対応する8の値は2個 P-2at-a+2=0 ...... ② ① は、 この左辺をf(t) とおくと. f(t)=(t-a)²-a²-a+2 よって、y=f(t) のグラフは,軸が直線t=α で, 下 に凸の放物線である。 ここで、②が実数解をもつのは, f(t) の頂点のy座標 が0以下である。すなわち, -d-a+2≦0 より, a-2 1≦a のときである。 (i) a≦2のとき 軸は区間の左側にあり、 ƒ(1)=-3a+329 よって、②がt=-1 を 解にもつとき、 すなわち､ f(-1)=a+3=0 より a=-3 のとき, 与えられ た方程式は解を1個もつ。 「(面) -2<a<1のとき ② は実数解をもたない。 また、②が-1<<1 に解をもつとき すなわ ち,(-1)=a+3<0より, a <3 のとき, 与え られた方程式は解を2個もつ. ( ≧1 のとき 軸は区間の右端または右 側にあり, f(-1)=q+3≧4 よって、②がt=1 を解 にもつとき, ya i -1/1 01 | sin²0+cos20=1 a-2より、 -3a≧6 -3a+3≥9 <対応する6の値は1個 <対応する0の値は2個 より, f(-1) <0 の f(1)>0 とき, -1 <t <1 で解をもつ. <a≧1 より, a+3≧4 対応するの値は1個 すなわち, f(1)=-3a+3=0 より, a=1 のとき, 与えられた 方程式は解を1個もつ. また, ②-1 <t<1 に解をもつとき,すなわ 対応する8の値は2個 ち,f(1)=-3a +3 <0 より, a>1 のとき, 与えらf(-1)>0 より f(1) <0 の れた方程式は解を2個もつ。 とき, -1 <t<1で解をもつ。 SAS 以上より, a<-3のとき 2個 =-3 のとき, 1個 -3<a<1のとき,0個 α=1のとき, 1個 a>1 のとき, 2個 解2 f-2at-a+2=0 を② とおくところまでは解1と同αを分離して2つのグラフの 共有点を考える解法 ②を変形すると,+2=2a(t+1/2) となり、この方程 式の実数解の個数は,放物線 y=f2+2 ...... ③ と, 点 (-1/20) を通り,傾き2aの直線y=2a (t +12/2) の共有点の個数に等しい. ③と④が接するとき, (②の判別式)=0 となるから, a²-(-a+2)=0 これを解いて, a=-2, 1 a=-2のとき, ② は, t+4t+4=0 (t+2)=0. t=-2 となり、接点の座標は - 2 また, α=1のとき, ②は, t2-2t+1=0 (t-1)20 t=1 となり、接点の座標は1 また、④が③上の点(-1, 3) を通るとき, 3=2a(-1+-1/2) a=-3 よって、 右の図より, 与え a=-2 られた方程式の解は, (-2,6) a<-3 のとき, 2個 a=-3 のとき, 1個 -3<a<1のとき, 0個 a=1のとき, 1個 a>1 のとき, 2個 第4章 三角関数 233 31 a=-3 /a=1 1≦t≦1の範囲外 練習 K-1≦t≦1の範囲内 t=-1のとき, 対応する 0 の値は1個 t=1のとき, 対応するの 値は1個

黄線の式はどういう考え方ですか？教えてください🙇‍♀️

D 三角関数の合成 右の図のように, 座標が (α, b) であ る点をPとし, 動径 OP とx軸の正の向 きとのなす角をαとする。 また,線分 5 OP の長さをrとすると 10 a=rcosa, b=rsina YA b 第2節 加法定理 a ttel cos a = √a²+6²² よって asin0+bcos0=rcosasin0+rsinacoso a sin 0+ bcos0= √a² + b² sin (0+a) α sina = =r(sinocosa+cos0sina)=rsin(0+α) asin0+bcoseのこのような変形を, 三角関数の合成という。 このr, αを求めるには, 上で述べたように, 点P(α, b) をとるとよい。 ここで,r=√a2+62 であるから,次のことが成り立つ。 三角関数の合成 b 2 √a² + b² 139 P(a, b) a x 第4章 三角関数

【2】【3】を途中式含めて詳しく説明教えてください！因みに【1】の答は－√15/8です！ 優しい方詳しく説明教えてください！お願いします！

25 1 練習αの動径が第2象限にあり, sing=のとき,次の値を求めよ。 21 (1) sin2a (2) cos2a 126 第4章 三角関数 C (3) tan2a

(2)ってなぜ「−√3<−1 だから振動する」にはならないのですか？

15 10 次のような無限等比級数の収束、発散を調べ, 収束するときはそ 4 の和を求めよ。 (1) 初項2、公比1/12 解答 (1) 初項が2,公比について 1/23 < 1 であるから収束して, その和は 1. (2) 初項1,公比 -√3 2 2. 1 3 (2) 初項が1,公比について -√3>1 であるから、発散 する｡ = 3 丸井 するときはその和 第4章 極 BE

（2）の解説の、より〜のところからわかりません

1集合 例題 145 集合の表し方 (3) ①1 20以下の自然数の集合を全体集合として,次のびの部分集合 4, B, C, D の包含関係をいえ. A={n|nは3の倍数}, B={n|nは6の倍数}, C={n|nは3の倍数または2の倍数}, D={n|nは3の倍数かつ2の倍数} (2) 全体集合をU={n|nは自然数,1≦n≦6},Uの部分集合を A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} とする. A∩B≠Ø, A¥2 のとき,αの値を定め, A を求めよ. 考え方 (1) x∈P となるxが必ず x∈Q のとき, PCQ となり, PCQ かつ QCP のとき,P=Q となる. ・P. まずは,それぞれの集合を要素を書き並べて表す. (2) 与えられた条件に注目する. A∩B≠Ø とは, AとBの中に同じ要素があるということ. さらに, AD2より, その要素は2ではないことがわかる. 解答 (1) A={3,6,9,12,15,18},B={6, 12, 18}より, BCA E={n|nは2の倍数} とすると, E={2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} より, C=AUEDA D=A∩E={6,12,18}=B よって, B=DCACC (2) U={1,2,3,4,5,6} である. A={a, a-3},B={2, a+2, 9-2a} で, a-3<a<a+2, AD2 より, A∩B={9-2a} (i)a=9-2a のとき α=3 となり,このとき a-3=0 つまり, A={0, 3} となるが, UD0 より 不適 素となる. (ii) a-3=9-2α のとき α=4 となり, A={4, 1},B={2, 6.1} はともにびの部分集合で, A∩B={1} よって, a=4,A={2,3,5,6} LIS ●x ・B. AUE 253 は使って覚えよう 第4章 a=a+2, a-3キα+2 であり, 2がAの要素でないの で, 9-2α が共通の要 Uの要素は1から6ま での自然数 全体集合の中に入って いるか注意する AnB≠Ø の確認