46. x^2-mx+p=0の式にx=γを代入していいんですか？ x^2-mx+p=0に代入できるのはαとβだけではないのですか？

78 重要 例題 46 2次方程式の解と係数の関係と式の値 00000 2次方程式x2-mx+p=0の2つの解をα, βとし, 2次方程式x-mx+q=00 2つの解を y, 8 (デルタと読む)とする。 (1) (y-a)(y-β) を p, g を用いて表せ。 1.7235 (2)か,gがxの2次方程式x²(2n+1)x+n²+n-1=0の解であるとき, (r-a)(y-B)(8-α) ( 8-β) の値を求めよ。 おまいられ」とい 基本41,44) INTLU 指針解と係数に関係した問題では,次の3つ (互いに同値) を使い分けることが重要。 ① 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解がα, B 32SUUS [2]_a+B==b, aß= [3] ax²+bx+c=a(x-a)(x-B) (1) (y-a)(y-B) の式を導きたいから,x-mx+p=(x-a)(x-β)であることを利用し て考える。 (2)(1) と同様に,(ô-α) (8-B) をp, gで表し,解と係数の関係を利用。 解答 (1) α,β は x-mx+p=0の2つの解であるから この等式の両辺にx=y を代入して -(1-we) x2-mx+p=(x-a)(x-β) Most cesty また, yはx-mx+g=0の解であるから r²-my+q=0 ゆえに stuc-vs+x(1-4)²+x=9 e-my+b=(y-a)(y-B).... ①ヶ靴代媛因覧でただ1 p+g=2n+1, pg=n²+n-1 (p−q)²=(p+q)²− 4pq 指針の3 を利用。 よって e-my-my を消去。 ① に代入して (r-a)(r-B)=p-q (2)もx-mx+g=0の解であるから, (1) と同様にしてーーーー (8-α)(8-B)=p-q 21st (1 よって (r−a)(r—B)(8—a)(8−ß)=(p−q)² ここで, b, g は x2 - (2n+1)x+n²+n-1=0の解であるか ら, 解と係数の関係により =(2n+1)²−4(n²+n−1)=5 よって (y-a)(y-B) (8-α) (8-B)=5 #(1=Y)&- etviv (1) のyを8におき換える だけで、まったく同じこと がいえる。 (パーズ指針の ② を利用。 ◄(p−q)²=p²-2pq+q² FU=(p²+2pq+q²)-4pq =(p+q)²—4pq

この問題の赤のマーカー部分の（-1）はどこから出てきたのでしょうか？

応用数直線上を動く点Pが原点の位 例題 11 置にある。 1枚の硬貨を投げて, 表が出たときはPを正の向きに 2だけ進め、裏が出たときはP を負の向きに1だけ進める。 硬 貨を6回投げ終わったとき, P が原点にもどっている確率を求めよ。 -3-2-1 0 P 1 硬貨を1回投げるとき,表が出る確率は 2 1 2r+(-1)(6-y)=0 第2節 確率 え方 6回のうち,表の回数をr回とすると、裏の回数は (6-γ) 回である。 よって, 6回投げ終わったときのPの座標は2+(-1)(6-r) である。 4 3 ST 59 6回のうち、 表が回出るとすると, 裏は (6) 回出るから,6 回で原点にもどるのは が成り立つときである。 これを解くと r=2 よってPが原点にもどっているのは6回のうち表がちょうど2 回出るときである。 したがって 求める確率は 06-2 2 6C2 C. (1) (₁) * = 15×(+)*(+)* - 15 (1 1) =15x 2 XI = 64 第1章 場合の数と確率 まが

ガウスの二次方程式についてです xの範囲を不等式で評価した後に最大値を等式とするのはなぜですか

(4) [x2+6x-4]=10xより, 10xは整数.また, 10x≦x2+6x-4<10x+1 ...x2-4x-4≧0 022 かつx²-4-5<0......... 2 である. ①より, (x-2)28 x≦2-2√2 またはx2+2√2. ② より まとめると,0.1- >1<x≤2-2√2 または2+2√2≦x<5. 前者と (x-5)(x+1)< 0 .. -1<x<5. a -1 9/20(1-√2)=-20.0.41…<-8 より-10<10x≦-9 となるので, 10x=-9. 後者と 4920(1+√2)=20・2.41...>48 より 4910x<50 となるので, 10x=49. 9 49 答はx= 10'10' 有理式と整数 F. 2-2√2 2+2√2 5

解の存在範囲の問題です （2）でtの存在範囲に持ち込むのは分かるのですが、|x|≧1が与えられているのに|X|で場合分けしているのは何故ですか

ポイント①! 1: y = -tx + ということです。 t² 2 (1) 直線OA の傾きは よって, 1:y=-t + t² 1 を満たす実数t (t≧1) が存在する + Y = -tX+ 2 2 ポイント! 最小値の 場合分け 2 (2) (X,Y) を通る が点 (X,Y) を通る y = − 1 ( x − 2²2 ) + 12/1/2 問題33の解答 1 :: 1:y=-tx + + 2 2 519 Explore (t0) であるから、1の傾きは t y .. -1 X -1 1 求める条件は, f(X) = - X° − 2Y + 1 ≦ 0 1 Y2-=X² + 2 1 O せん。つま 1 t² 1 存在条 ⇒ Y = -tX + + を満たす実数t (t≧1) が存在する ⇔f-2X-2Y + 1 = 0 を満たす実数t (t≧1) が存在する 2 2 f(t) = f - 2Xt − 2Y + 1 = (t - X) - X-2Y + 1 とする。 (i) |X|≧1 (X ≦ -1, X≧1) のとき←頂点で最小となるとき y=f(t) y=f(t) -11 A(t,1 X 22 X≦1-1≦X≦1) のとき← /y = f(t) ポイント [2]! 求める条件は, ✓ -1 X 1 f(-1)=2X-2Y+2≦0 または ← x=1のとき y≧x +1 または y≧-x+1 一区間の端点で最小となるとき y=f(t) t コメント! op -1 f(1)=2X-2Y+2≦0 ..Y ≧ X + 1 または Y≧ - X +1 以上 (i), (i) より求める範囲は次のとおり。 x≧1のとき 1 =-x²²+ 1 2 X 1 最小値をとるのがt=1のときなの かt=-1のときなのかを場合分け しなくても 「または」 でまとめて考 えられる(メント! 参照)。 -1 y 01 y=x+1 境界を含む y=-x+1 p=12/2x+1/12/2 -x² y=- ① 求める図では, 放物線と直線は接しているんだ。 y=-12x+1/1/28y=x+1からyを消去すると (x+1)^2 = 0 となるから, 放物線と直線はx=-1で接しているんだ。 放 物線と直線y=-x+1についても同じだよ。 ②通過領域の問題は入試でも頻出の重要問題だよ。 本間では結局の存 在条件に帰着させるんだけど,この部分は問題32 と同じ考え方だね。 ③ 2次方程式が解をもつかどうかは, 問題3でも学んだように, 最小値に ついて考察するから、 問題33 133 Cha 図形と方程式

2項の帰納法について解説に5（ak＋3^k）の部分で5の積でもakが分数だと5の倍数だと言えないとありますが、akが5の倍数でなくても整数ならこの項は5の倍数になってakも5の倍数ならの仮定では不十分に感じます。この考え方について教えて頂きたいです。

は成立する。 (I)(II)よりすべての正の整数nに対して(*)が成立することが示された。 (証明終) 数学的帰納法 ( 2つセット型) 講義 (I)において、 なぜn=1,2のときの2つについて示さなくてはなら なかったか, (II) において、 なぜn=k, k+1のときの2つについて仮 定をしなくてはいけなかったかは次のとおりです。 解答中の ( ) より ak+2 3ak+1 5(ak + 3k) 5があるもののαが1/23 などであれば ● 5 +3) が5の倍数とはいえないと ころがも5の倍数ならば5 (a + 3 ) は5の倍数といえる これらの理由から akak+1 がともに5の倍数であると仮定しました。 ● ak+1が5の倍数ならば 30k+1は5の倍数 問題73 215

（4）3行目から4行目の式変形が分からないです 2iから−2iになるところです

1), V), |z+4|=6 「よって, 点P(z) の全体は点4を中心とする 半径6の円を表す。 (4) z-z=2i(z+z)より,卵を (1−2i)z=(1+2i)zとなる. ここで, (1+2i)z=(1-2i)z より (1-2i)z=(1-2i)zと なる. つまり, (1-2i)zk(kは実数)とお ける. k 2=- YA 2 1⁰ 1 +2i 1 k(1+2i) k - 1—2i(1—2i)(1+2i) = (1+2i) よって、点P(z) の全体は原点と点12を通る直線 を表す. 1 本章では, 複素数の特性・有用性を活かした解法を基本としている.一方, 複素索 ● に座標平面を重ねると, 複素数 z=x+yi (x, y は実数) とおけ 「図形と方程式 を使って解析することができる . 11 が実数 2 x+yi は、T-5) + yil

印がついている マイナスはなんでしょうか、？💦

22 解と係数の関係 (ⅡI) 3次方程式+㎡²-2x+3=0 の3つの解をα, B, yとする とき, α+β+y, aβ + By + ra, aßyの値を求め, a²+B2+y2 の値 を求めよ. 精講 と表せます. この式の右辺を展開すると, ax³-a(a+B+r)x²+a(aß+By+ya)x-aaßry となり,左辺と係数を比較すると, ポイントの公式が導けます. これも 「解と係数の関係」 といいます。 解答 3次方程式 ax+bx²+cx+d=0 の3つの解をα, β, y とおくと ax³ + bx²+cx+d=a(x-a)(x-B)(x-r) 解と係数の関係より, α+β+y=-1, aβ+βy+ya=-2, aßy=-3 このとき (a+β+y)²=a²+B2+y²+2 (aB+βy+ya) a2+B2+y2=(a+β+y)²−2(aβ+βy+ya) =1-2×(-2)=5 ポイント 演習問題 22 3次方程式 ax+bx+cx+d=0 の3つの解を α, β, y とすると b a+β+y=- -₁ aß+By+ya=-= a' aby=_d 22 において, ' + β3 + y3 の値を求めよ. 演22 B8 x³ + Ch --7-9 -16 = a [(a+b+r) -3 [ap+Br+ra)] +3088 39 11-3-1-2 (-2) +3.(-3) 第2章

（2）です。なぜ極値γと-γとおけるのかが分からないです。教えてください。

7 実数解の個数/定数項以外に文字定数 関数f(x)=az3-(a+3)x+a+3について,次の問いに答えよ.ただし, a は0でない実数とする。 (1) f(x) の導関数をf(x) とする。この方程式f(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を め,またそのときの実数解をすべて求めよ. (2) の方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ. (宮城教大) で価値を持つとき

数Ⅲ複素数です。 γの値が出そうで出ないです。 どこが間違っているのか教えてください。

【1】 異なる複素数α, B, a2+2+3^2+aβ-3β-3ay=0 を満たす. B-Y (1) の値を求めよ. α-7 B-Y α-Y || 12 ± 4 Y 7 k= 8 3 i (2) α,3,3次方程式 解であるとき, a, β,およびんの値を求めよ. ただしは実数であるとする. a= 5 土 4x2+kx-80(kは実数の定数)の 6i, |i, 3 = 5 千 6 (複号同順)

上の式が成り立つ時に下の式も成り立つことを証明したいんですがどうしたらいいかわかりません。誰か教えてください。

αPA+BPB²+√PC = 8² OPBCOPCA : APAB= α= ß=ɣ