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3[配点】(1) 10点 (2) 10点 (3)10点(4) 5点 計35点
「365日のマーチ」という歌がある。その中で「3歩進んで2歩下がる。j というフ
レーズがある。そういう地道な動き方をするロボットを開発した。そのロボットの動作の
実験でポイント地点を1秒ごとに進ませた。
1秒後にポイント 1の地点にあり, 2秒後にポイント 2の地点, 3秒後にポイント 3の地点,
4秒後にポイント 2の地点に後退 ((ポイント1の地点から)2歩進み1歩下がる),5秒後
にポイント3の地点, 6秒後にボイント 4の地点… (3歩進み2歩下がる)つぎに(4歩進み3
歩下がる)…( m歩進んで(m-1)歩下がる ) といったように動く。この動きのn秒後の
ポイントの数値を左からn番目に書いて数列{a,}を作ると下のようになる。
{a}:1,2,3, 2, 3, 4,5,4,3,4,5,6,7,6,5,4,5, ……
次の問いに答えよ。
(1) 初めてポイント11の地点にいくのは何秒後か答えよ。
(2) 初めてポイント100の地点にいくのは何秒後か答えよ。
(3) ポイント 2n-1 (mは正の整数)の地点を合計何回通るか答えよ。
(4) ポイント n (nは正の整数)の地点を合計何回通るか答えよ。
1|2,3,2 | 3,4,5,4,3 | 4,5,6,7,6,5,4 | 5,…
というふうに第n群が(2n-1)個ある群数列と考えると初めて
2n -1が出るのが第 n群の第n項真ん中)
よって11が初めて出るのは第6群の第6項
最初から数えて1+3+5+7+9+6=31(番目)
第31項 よって 31秒後 (答) 0
(2) 2n -1 が出るのが第 n群の第n項真ん中) なので 2n はその次の群
(第(n+1群)の第1n項(真ん中の1つ前)
よって 100 が初めて出るのは第51 群の第50項
最初から数えて1+3+5+…+99+50=
50×(1+99)
+ 50=D 2550(番目)
2
第2550項 よって 2550 秒後…(答)
(3) 2m-1が初めて出るのが第m群に1回第(m+1) 群から 2回ずつ出て,
最後が第(2m-1)群の最初と最後
よって出る回数は 1+{(2m-1)-m)×2=2m -1(回)
よって(2m-1)回通る…· (答)
(4) 2m (mは正の整数)のとき第(m+1)群から第 2m 群まで 2回ずつ出る。
よって出る回数は (2m-m)x2=D2m(回)
よって2m 回通る
(3)の結果も合わせて
nは合計 n回出る
よって 回通る…(答)
