-
![]()
3 等式·不等式の証明
59
Check
Joot
例題27
不等式の証明(1)
期の大
不等式 α+6°+c>ab+bc+ca を証明せよ。また,等号が成り立つ
のはどのようなときか。
第1章
友発不 味果) ()
直を来
考え方 不等式の証明の基本は,差をとることである。
2次式の場合,平方完成して,(
平方完成では,1つの文字について整理する。
A2B → A-B20
)?の形にできれば(
)20 となる。
解答
(左辺)-(右辺)=a°+8+c°-(ab+ 6c+ca)
b+c\?
b+c\?
=a°-(b+c)a+6°+c°-bc= a-
2
+6°+c-bc ずaについて平
2
清完成する。
btc\?
a-
b+c\?
2
3
3
(6-26c+c) -(a-5)+-(6-c)?
2
4
ここで、(a-)20,カ-0ド20より
える。
る。
を
b+c
b+c
aー
2
b-c
0-
bo)
b+c\?
3
s0215 (a-5C)+(6-c)20
す
S0 =b
は実数で、
(実数)20
……の
いこ
よって,不等式 α+8+c°2ab+bc+ca が成り立つ。
b+c
等号は,a=
かつ b=c つまり a=b=c のとき成り立つ. ①に着目する。
2
(別解)(左辺)-(右辺)=α°+6++°-(ab+bc+ca) が十g"=0
0|→ p=q=0
-2a°+26°+2c-2(ab+bc+ca)}
1
ここがポイント
2
ー2
(a°-2ab+6°)+(68-2bc+c)+(c-2ca+α)}
2だ
ミ
大参不S0
=(a-b)+(6-c) +(c-a)}
主で
ここで,(a-b)。20, (6-c)20, (c-a)°20 より,<a-b, b-c,
c-aは実数で,
不本S 3る
(aーb)?+(b-c)+(c-a)}20
よって,不等式a'+6°+c°>ab+bc+ca が成り立つ。
の意(実数)?N0
02は 等号は,a=b かつ b=c かつ c=a つまり
a=b=c のとき成り立つ。
のに着目する。
が+g°+r=0
→ p=q=r=0
Focus
不等式 A2Bの証明 A-B20 を示す
絶対不等式を利用
A°+B°20 のように, 式に含まれる文字の値にかかわらずつねに成り立っ不等式を
注
絶対不等式という. (例 (x-y)?20, -x°-2<0)
また, a, bが実数のとき,
a+=0 = a=0 かつ b=0
次の不等式を証明せよ. また, 等が成り立つのはどのようなときか. 8S
(1):2(α°+6)23ab
練習
27
(2)「x+5y°24xy+6y=9
p.72 |25) |26) 27)
リ
