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重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を
基本210
求めよ｡
指針▷>条件f'(x)=ex-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな
い。 まず、
絶対値 場合に分けるから
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1
x>0のときは,A と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし,
x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。
そこで,関数f(x) は x=0で微分可能
lim f(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
x→+0
解答
x>0のとき, ex-1>0 であるから
よって
f (1) = e であるから e=e-1+C
ゆえに
C=1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1
よって
f(x)=f(-ex+1)dx
ゆえに lim f(x) = lim f(x)=f(0)
x→+0
x-0
①から
limf(x)=lim (ex-x+1)=2
②から
limf(x)=lim(-e*+x+D)=-1+D
よって
したがって
x→+0
f'(x)=ex-1
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数)
=-e*+x+D (Dは積分定数
(2)
f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。
_0-1x
このとき, lim
lim
h→+0
x→0 x
練習
1 211
lim
h--0
2=-1+D=f(0) ゆえに D=3
f(x)=-ex+x+3
-=1から
ex-1
したがって f(x)=ex-x+1 ...... 1
x→+0
0-1x
ƒ(h)—ƒ(0)
A
: lim
ん→+0
ƒ(h)—ƒ(0)
h
eh-h-1
h
=lim
h-0
(p.242 基本事項 ① ② ) に着目。
x=0で連続
-=0,
-e" +h+1
=0
h
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
[e*-x+1 (x≥0)
以上から
f(x)={
−e³+x+3 (x<0)
.......
x+x-xm-(2)
y
O
y=ex-1
導関数 f'(x) はその定義か
ら,x を含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
x
JOHAJ
(x)=x (S)
lim
ん→-ol
f(x) は微分可能な関数。
lim (e^-1-1)
++0
130 1
Ade
必要条件。
逆の確認。 p.257 も参照。
=(e^-1)+1}
h
ors
π
<x<1とする。 f'(x)=|tanx-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。
3
[2]
3
J
Î
