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ズの
入
※離
す
※解
し
132
基本
例題 75 第n 次導関数を求める (1)
nを自然数とする。
(n) y=sin2x のとき,y(n)=2"sin(2x+
NA
2
)であることを証明せよ。
(2) y=x”の第n次導関数を求めよ。
/p.129 基本事項 重要 76, p.135 参考事項、
重
関
解答
指針(n) は,yの第n次導関数のことである。 そして、自然数nについての問題である。
から 自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める
では、13.3の場合を調べて推測し、数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2]n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
(1)ym=2"sin(2x+77)
① とする。
80+
[1] n=1のとき y=2cos2x=2sin (2x+z)であるから,①は成り立つ。
(20+1)
[2]n=k のとき,①が成り立つと仮定するとy=2sin (2x+
n=k+1のときを考えると,②の両辺を xで微分して
ゆえに
ory(k)=2k+1cos 2xc+
dx
kл T
2
kл
2
3/4.1 =211 sin (2x++) = 2+*'sin{2x+ (k+1)x}
y(k+1)=2k+1
よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2) n=1,2,3のとき,順に
y=x'=1,y=(x2)"=(2x)'=2・1, y'=(x3)"=3(x2)" =3・2・1
したがって, y(n)=n!
(XP0
......
① と推測できる。
[1] n=1のとき y=1!であるから, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
ty(k)=k! すなわち
人外
dk
dxkxk=k!
n=k+1のときを考えると, y=xk+1で,(x+1)=(k+1)xk であるから
(x)=
dk
y (k+1)= dr (d) = ((k+1)x")
dxdx
dxk
dk
=(k+1)-
1)x=(k+1)k!=(k+1)!
dxka
(1) よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立ち
が
練習 n を自然数とする。 次の関数の第n 次導関数を求めよ。
③ 75 (1) y=logx
(2)
y(n) =n!
