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例題 55 背理法による証明 [2]
a,bを有理数とするとき, 次の問に答えよ。 ただし, √2が無理数である
ことを用いてもよい｡
(1)a+b√2 = 0 ならば a = 0 かつ b = 0 であることを示せ。
を満たすα, b の値を求めよ。
(②2) α(1+√2)+b(2-√2)=4+√2
(1)
「a+6√2=0」から直接「α = 0 かつ6=0」を導くのは難しい → 背理法
FOR S
目標の言い換え矛盾をどこから導くか?
550.
条件
を用いることに注意すると
& S+ SEST S
「
√2= - と変形して(無理数) (有理数)となり矛盾」としたい。
!! 「a≠0 または 60」 を仮定する必要はなく,「60」 を仮定するだけで十分。
Action» 結論が 「かつ」の背理法は, (または ) のみを仮定せよ
a
(1) 60 と仮定する。a+b√2=0 より √2=-1
結論の一部 b = 0 を否定
して矛盾を導く。
a
a b が有理数であるから,
11
- 1 は有理数である。
b
(有理数) ÷ (0でない有理数)
W
= (有理数)
これは,√2が無理数であることに矛盾する
よって b=0
a = 0
これをa+b√2=0 に代入すると
したがって, a, 6 が有理数のとき
60 のみを仮定して
矛盾を導いたのであるか
ら,得られる結論は b=0
のみである。
a+b√2=0 ならば a = 0 かつ 6 = 0
(2) α(1+√2)+b(2-√2)=4+√2 を整理すると
(a+2b-4)+(a-b-1)√2=0
a,bが有理数であるから, a+26-4, a-b-1も有理数
である。 よって, (1) の結果より
Love
■a +26-4とa-b-1
がともに有理数であるこ
a +26-4=0 かつ a-b-1=0
とを必ず書く。
したがって
a=2,6=1
TOUT
思考のプロセス
