基本 例題 156 媒介変数表示の
曲線 x=a(t+sint), y=a(1-cost) (2) とx軸で囲まれた部分の
面積Sを求めよ。 ただし, a>0 とする。
CHART & SOLUTION
x=f(t), y=g(t) で表された曲線と面積
① 曲線とx軸の共有点のx座標 ( y = 0 となるt の値) を求める。
(2 tの値の変化に伴うxの変化やyの符号を調べる。
面積を定積分で表す。 計算の際は,次の置換積分法を用いる。
s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(x), b=f(B)
重要 89.242 基本事項
t=0 のとき x = 0,
解答
0≤t≤2π
......
① の範囲で y = 0 となるtの値は,
1-cost=0 から
t=0, 2π
t=2のとき x=2na
t 0
π
2π
dx
x=a(t+sint) から
=a(1+cost)
dt
y=a(1-cost) から
dy-asint
x
②
dy
20
dt
y
012a
dx
dt
+
0
+
0 -> πa →
2ла
+
→
0
dt
+1-=(2)\
0<t<2 の範囲で
dy
- = 0 とすると
t=π
dt
よって, x, yの値の変化は右上のようになり,
2a
(x)\
t=2
dx
0<t<2 のとき
-≧0, ① のとき y≧0 である。
0
πa
2nax
dt
t=0
ゆえに、この曲線の概形は右の図のようになる。
②より, dx=α(1+cost) dt であるから, 求める面積Sは
s="ydx=S"a(1-cost)・a(1+cost)dt
(
2
dt-1-(-)-
=a*f""(1-cost) dt=a*f" "sin'tdt(x)=ーー
20
521-cos 2t dt=[t-sin21]
=
20
置換積分により,tの積
分に直す x との対応
は次のようになる。
2x
Jo
2
曲
0→2na
0→2π
0≦t≦2π では y≧0 であり, 曲線はx軸の上側にあるから,グラフをかかずに,積
▼間と上下関係から面積を計算してもよい。 ただし, 重要例題160 のように,xの
でないこともあるので注意が必要である。
