国 111円に接する放物線
放物線y=
★★★☆
=1/2x1と円+(-a)=(a>0, r>0)②につ
いて、次の条件を満たすようなαの値の範囲を求め, r をαの式で表せ。
(1) 放物線 ①と円 ②が原点0で接し, かつほかに共有点をもたない
(2) 放物線 ①と円 ②が異なる2点で接する。
xについての4次方程式(別解1)
820
>0の解は
を消去
1, 2
次数が高い
を連立
yについての2次方程式(本解 )
xを消去
次数が低い
共有点2つに対応
対応を考える」
解は共有点のy座標を表す。
y=0の解は
図形は y 軸対称であり, 解と共有点
接点1つに対応
y▲
思考プロセス
の対応は右の図のようになる。
条件の言い換え
についての2次方程式が
(1)y≧0において,解が y=0 のみ
(2)y>0において, 重解をもつ
x
Action» 円と放物線の共有点は、連立して×を消去せよ 円
解 ①より, x=2y でありy≧0
6
x
② に代入すると 2y+(y-a)2=re
xを消去する。
y2+2(1-a)y + (d2-r2) = 0
③3
(1) 題意を満たすのは, ③が y = 0
を解にもち, y> 0 の範囲に解を
y = 0 しか解はない。
もたないときである。
共有点が原点のみである
から, y ≧0 においては,
また,このとき, グラフ
の対称性から, 原点で接
するといえる。
y = 0 が解であるから,
a-r2 = 0
a>0, r>0であるから r=a
このとき,③は
y2+2(1-α)y=0
y{y+2(1-a)}= 0
よって, ③のy = 0 以外の解は
y=2(α-1)
2(4-1)≦0 より 0<a≤1
したがって
0<a≦1,r = a
①
2 (α-1) が正であっては
いけない。
2(4-1)=0のときも含
まれることに注意する。
