224. 解答の 「②でu=0と〜は②である」 という記述はなくてもいいですか？？ 自分が解く時に②でu=0だったら不等式に矛盾が生じるということを想像しないような気がしたのですが、どうでしょうか？？

2 演習 例題224/ 3本の接線が引けるための条件 (2) |f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。 点 (u, v) を通る曲 線Cの接線が3本存在するための,の満たすべき条件を求めよ。 また、その [類 鹿児島] 条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。 指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。 曲線C上の点(t, f(t)) における接線の方程式を求める。1つ 2② ① で求めた接線が,点(u, v) を通ることから, .tの3次方程式を導く。 ③3 ②の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。 解答 f'(x)=3x²-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t)) とすると,接線の方程式は y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) すなわち y=(3t²-1)x-2t³ この接線が点(u, v) を通るとすると よって 2t³-3ut²+u+v=0 ① +48-20 3次関数のグラフでは、接点が異なれば接線も異なる。 前ページの検討 参照。 ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件 は、tの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。 よって, g(t)=2t3-3ut'+u+cとすると, g(t) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号となる。 g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから u=0 かつ g(0)g() <0 g(0)g(u)<0から (u+v)(-u³+u+v) <0 ....... ②② ②でu=0 とすると<0 となり,これを満たす実数は存在 よって しない。 ゆえに,条件 u≠0 は②に含まれるから、求める条件 は ② である。 ②から [u+v>0 1-u³+u+v<0 u+v<0 l-u³+u+v>0 v>-u または HOLOND v=(3t²-1)u-2t³ 10-u [v>u²³-v または したがって,点(u, v) の存在範囲は 右の図の斜線部分。 境界線を含まない。 V. ✓30 2√3 9 2√3 9 √3 3 基本 219, 演習 223 ◄y-f(t)=f'(t)(x-t) TERRI p.337 の例題219 参照。 g'(t)=0 とすると t=0, u u=0のとき, t=0,uの うち一方で極大,他方で極 小となる。 v=uuのとき v=3u²-1 '=0とすると √3 3 u=±. v= u=± √√3 3 2√3 9 のとき (複号同順) 330 直線 vu は曲線C の 原点Oにおける接線。

223. このような記述でも問題ないですよね？ またこの問題での接線を求めるときのプロセス、 ①接線の座標を仮定して接戦の方程式を立てる ②接線が通る点の座標を代入 ③微分を用いて求める という順番で進むのは一般的ですか？？

演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1) 曲線C:y=x+3x2+x と点 A(1, a) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 [類 北海道教育大] 1970 基本 218 である。 る。 指針▷ 3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の 検討 参照) から, 曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける 針の① の 曲線C上の点 (t +3t'+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線C上の点(t, t3+3t+t) における接線の方程式を求め,これが点 (1,α) を 通ることから, f(t)=a の形の等式を導く。 ・・・・・・ CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別 解答 y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, 3+ 312+t)に おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(32+6t+1)(x-t すなわち y=(3t2+6t+1)x−2t−3t2 ばよい。 この接線が点 (1,α) を通るとすると -23+6t+1=α ... ① f(t)=-2t+6t+1とすると f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) f'(t)=0 とするとt=±1 f(t) の増減表は次のようになる。 -1 1 0 |極大 5 .... 0 + 極小 -3 7 - 5 t f'(t) -3 f(t) 3次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なるから, もの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか ら曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 -1/0 +トー の解 1 y=a t - Ku y=f(t) 定数 αを分離。 f(-1)=2-6+1 = -3, f(1)=-2+6+1=5 ①の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=α との 共有点の座標。 検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係 3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α, β (αキβ)で接すると仮定すると g(x)-(mx+n)=k(x-a)²(x-B)² (k=0) ←接点 重解 の形の等式が成り立つはずである。 ところが, この左辺は3次式, 右辺は4次式であり矛盾して いる。 よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 the これに対して, 例えば4次関数のグラフでは、 異なる2点で接する直線がありうる (前ページの 61 3 関連発展問題 38

数学2の積分を用いて面積を求める問題です。498の解説を見ると答えは12/37になっていました。どんな計算で12/37という答えが出てきますか？

微分法と積分法 研究 研究(x+α)の微分と積分 ak (1) 放物線と直線で囲まれた図形の面積 区間 a≦x≦b において考える。 y=f(x)とx軸, および2直線x=a, x=b で囲まれた図形の面積S = -√√(x) ₂² この曲線 y=f(x), y=g(x), および2直線x=a, x=6で囲まれた図形の 常にf(x) ≧ g(x)ならばS=${f(x)=g(x)}dx 放物線に関する面積にはf(x-2)(x-B) dx=1/(B-α)" を利用するとよい STEPA 次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 (1) y=x2+3,x軸, x=-1, x=3 *(2) y=-2x2+x+2, x軸,y軸,x=1 (3)y=-x2+2x,x軸 *(4) y=-x2-2x+3,x軸 (5) y=x+3x2 +3x+1, x軸,y軸 f(x) ≧0ならば S= aldr 500 次の定積分を求めよ。 6³1.. ✓ 496 次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 『 (1) y=x,y=4x-x2 (3) y=x2-4, y=-x2+2x s = Sof(x)dx, 常にf(x) ≧0ならばS=- □ 497 次の曲線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 (1)y=x2+4x (3) y=x3–5x2 498 曲線 y=-x+ x2+2xとx軸で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。 - OTG 450 499 次の曲線や直線で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。 *(1) y=2x²(0≦x≦3), y=-x2+6x (0≦x≦3), x=3 (2) y=x²-3 (-1≤x≤2), y=-2x, x=-1, x=2 *(2) y=2x-1,y=x2-3x+5 *(4) y=x²-x+1, y=2x²-4x+3 (2) _y=x²+3x+2 (4)y=-(x-1)(x+1) .501 (2) 2. 502 50 *50 5

蛍光ペンを引いた部分がなぜそうなるのかわからないので、教えて欲しいです。

387 f(x)=x+ x3x² とおく。 曲線 y = f(x) に点 (0, α) から接線がただ 1つ引けるとし,しかもその接線はただ1点でこの曲線に接するとする。こ のときの定数αの値を求めよ。 (大阪大)

双曲線で、図のcの長さと焦点Fまでの長さが一致するのはなぜなのでしょうか💦

b y=-x a F' A i-a b y=-x a YA -b a F X

数2の微積の問題です｡(12）までは解けたのですがその次から分かりません。解き方教えてください。

2 (エ) 関数 f(x) はf(x)=x²+3m2 - 9x + So f(t)dt を満たすとする。 不定積分はαを用いて このとき, 曲線y=f(x) 上の点 (2, f (2)) における接線の傾きは (11) (11)である。 f(x) の [ƒ(₂ (12) + C(Cは定数)と表される。aの値は (13) である。 区間 -4≦x≦2におけるf(x) の最大値は (14) である。 a= f(x) dx = a= = S f(t)dt とおく。

数2の微分積分の問題です｡(12）までは求められましたがそこから進めません。解き方を教えてください

2 (エ) 関数 f(x) はf(x)=x²+3m2 - 9x + So f(t)dt を満たすとする。 不定積分はαを用いて このとき, 曲線y=f(x) 上の点 (2, f (2)) における接線の傾きは (11) (11)である。 f(x) の [ƒ(₂ (12) + C(Cは定数)と表される。aの値は (13) である。 区間 -4≦x≦2におけるf(x) の最大値は (14) である。 a= f(x) dx = a= = S f(t)dt とおく。

数3積分の問題です。a nを求める時にa1と同じように求めるやり方でときたいのですが、計算式が分からないので教えて頂いきたいです。

練習 曲線 y=ers と y=exicosx で囲まれた図形のうち、(n-1)≦x≦nを満たす部分の面積を 5 250 an とする (n=1, 2,3, ......)。 (1) a1, an の値を求めよ。 (2) lim(a1+a2+・・・・・・ +αn) を求めよ。 [類 早稲田大〕 (1) HINT |cos x|≦1であるから e-*≧e-x|cosx | 上側にある。 Sex cos cosxdx=−e*cosx—Se*sinxdx =-e 12 00 = COS x よって, 曲線 y=e-x は曲線 y=e-x|cosx | の --ex sinx + fe*cosxdx) =-e-*cosx+e-*sinx-fe-*cosxdx 積分定数を考えて fe*cosxdx=1/21ex (sinx-cosx)+C 15/01 0≦|cosx|≦1, ex>0であるから ex=e*\cosx nie+ ↑① 上下関係を ←部分積分法。 530 ←同形出現。 1 この不定積分はαを 求めるときに必要になる ies+1) (3 調べる

これ正しいのってどれになるんでしょうか？ i,ii,iiiの正しい正しくないの理由も説明してくださると助かります; ;

(2) 次の(i),(ii), ()は,令和3年度における47都道府県別の一住宅あたりの延べ 床面積の平均値に関する記述である。 (i) 145.17-65.90 を計算すると, このデータの範囲が得られる。 (i) 値の小さい方から12番目の広島県の値が、第3四分位数である。 ( を計算すると, 全国の一住宅あたりの延べ床面積の平均値が得られる。 の都道府県別の一住宅あたりの延べ床面積の平均値の平均の値 表1から47 (i), (i), () のうち,正しいといえるものは タ タ の解答群 ⑩ (i)のみ ③ (i)と(ii)のみ ⑥ (i) () と (m) ① (ii)のみ ④ (ii) と (m) のみ である。 ()のみ ⑤ (i) と (曲)のみ (数学Ⅰ・数学A 第2問は次ページに焼く。)

早めの解説お願いします！！

2. 曲線 y= m2 +1 IC の概形をかけ. (増減表を作成)