B 定積分と和の極限
関数 f(x) = x2 について, 曲線
y=f(x)とx軸および直線 x=1 で囲
まれた部分の面積Sを考えてみよう。
1
定積分を用いてSを求めると
5
s=fxdx=[1]=1/3
S=
n
0
S
y=2
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イメージ
tok 一方,図 [2] のように区間[01] をn等
[2]y
y=x2
1
分してn個の長方形を作り,それらの面
積の和をSとする。 n→∞のとき,こ
10 の長方形の集まりは図 [1] の斜線で示した
図形に限りなく近づくから, Sn→Sと
予想される。 実際に計算してみよう。
=
n
3
(カ)+(2)+(2)+(n)}
2 1
-Σk²
=
---
n
nk=1
=
n
1
01t
n
n(n+1)(2n+1)
= lim 1/ (1+ 1 ) (2 + 1) = 1/
limSn=lim
5 であるから
n→∞
n→∞
n
==
3
Sn
1
n
n-1
n
22
よって, limSn=Sが成り立つことが計算で確かめられた。
81U