数学の大学入試の問題です 6（2）がわかりません。 解説お願いします

22:2AQ & [2021 神戸大 実数とする。ェの2次方程式 1個のさい +1+1=0について、次の問いに答えよ。 (1)この2次方程式が異なる2つの実数解をもつようなの値の範囲を求めよ。 (1)で求めた範囲で動かすとき、この2次方程式の実数がとりうる Q の座標を 求めよ。 ② 2次 (3) 2 率を

18（2）がわかりません 解説お願いします

[18 [2021 九州大] 座標平面上の3点 0 (0, 0), A (1, 0), B(0, 2) を考える。 (1) 三角形 OABに内接する円の中心の座標を求めよ。 (2)中心が第1象限にあり, x軸と軸の両方に接し, 直線ABと異なる2つの交点を もつような円を考える。 この2つの交点をP, Q とするとき, 線分 PQ の長さの最大 値を求めよ。 (2)円の半径をR とすると, 中心の座標は (R, R) である。 直線AB の方程式は y=-2x+2 すなわち 2x+y-2=0 よって、円の中心と直線ABの距離をとす ると d= 12R+R-21_13R-21 = √√22+12 √5 円が直線AB と異なる2つの交点をもつとき, d<Rであるから |3R-2| √5 <R 両辺は正であるから, 両辺を2乗して整理す ると R2-3R+1<0 B≤0 よって 3-√5<R<3+√5 ① 2 2 このとき,三平方の定理により d+ =R2 よって PQ2_16 16 (R2-3R+1) 5 右辺を整理して PQ-16-232-24 B2 2 P (R, R) 1 A x 422-4123R+1) 1228-4 PQZOであるから,R=2のときPQも最大で,最大値は したがって、①においてPQはR=2のとき最大値-18(-2)=4をとる。 2 すなつ よって, cは−1の約数となり ゆえに,f(-1) = 0から すなわち a²-262-1=0 (1) より α2=3m+1,62=3n よって 3(m-2n)=2 m-2n は整数であるから, 2 したがって、f(x) =0を満た (3) f(x)=0 の有理数解, は有理数であるから,互い p0 である。 更に,(2)よりは整数では f(r)=0 から 2m3+azy2+ すなわち よって したがって 2(2)² + a² 2q3+apa d2a2+a2 pgは互いに素であり、 ①に代入して整理すると すなわち 2=pp²+ よって、 は2の約数とな ②に代入して整理すると すなわち (a+26Xa a,b は整数であるから, よって (a+2b, e したがって (a, b)=( これらは a, b が3の倍

数学の大学入試の問題です 6（2）がわかりません。 解説お願いします

を 6 [2021 神戸大] a を実数とする。 xの2次方程式x2+(a+1)x+α2-1=0について,次の問いに答えよ。 1個のさい (1)この2次方程式が異なる2つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。 に出た目の (2)(1)で求めた範囲で動かすとき,この2次方程式の実数解がとりうる値の範囲を162> 標を 求めよ。 (2) 2次 (3) 2次 い。 3 ≥2 2'2b b 3 √3 等号が成り立つのは、 2-26 = 2 のとき、すなわち、 ✓のときであり、 これ 6 は b1 を満たす。 1 このとき②より すなわち a=+- √2 したがって, La= で最小値をとる。 6 [2021 神戸大] 率を求 11 [20 αを正 (1)の2次方程式x2+(a+1)x+α-1=0 の判別式をDとすると,D>0となること が条件である。 D=(a+1)2-4(q2-1)=-3a2+2a+5 =-(a+1)3a-5) (1) せ (2) (3) あるとき 表す。 D>0 から (a+1X3a-5)<0 よって、求めるαの値の範囲は -1<a< ...... ① (2)与えられた方程式をαについて整理すると a2+xa+x'+x-1=0 のと 14は素数でない。 これをαの2次方程式とみて、 ①の範囲に解をもつ条件を調べる。 f(a) =a2+xa+x²+x-1とおくと +2x'+x-1 数 6 y=2x から 放物線y=f(a)の軸は,直線である。 を a-t² [1] 1 すなわち2のとき f(-1)=x20 ようなCの接線の本数と一致する。 であるから, ①の範囲には解をもたない。 2-1-(-1)=a²+1>0 [2]11/3 すなわち -から, 点Aを通るようなCの接線 10 <x<2 ② Cの接線の方程式は,(1)より、 にする ことから, = 2ap+1, のとき、①の範囲に解をもつ条件は,f(-1)>0であるから ゆえに を通ることを示している。 二、 直線 PQ の方程式である。 すなわち +*+*-150 (x+2)(3x-2)≤0 (-2)50 よ。 って -2515 これは②を満たす。 x-- 16 (8)=x+1/+18=(x+1/3)20 であるから、①の範囲には解をもたない。 [1]~[3] から, 求めるxの値の範囲は -2515

⑴の(iii)の別解なのですが、三次関数とかでもないのにどうして増減表を使って求められるのかわかりません。あと単調増加に極値はあるものなのですか。よろしくお願いします🙇

4 次の問題について,しずかさん、れいさん,ゆうだいさんの3人が議論をしている。 問題ある学校の文化祭では、 縦8mの垂れ幕が垂直な壁にかかっていて, 垂れ幕の下端があ る人の目の高さより2m上方の位置にある。この人が壁から何m離れて見ると, この垂れ幕 の上端と下端を見込む角が最大となるか。 しずか 右図のように、 直線 l を壁として, 点Aを垂れ幕の上 端, 点Bを垂れ幕の下端, 点Dを垂れ幕を見ている人 の目の位置とした。 この垂れ幕の上端と下端を見込む角 ∠ADB の大きさを0とおいて, 0が最大となるときの 点Dの位置を求めればよい。 ・れい 0が最大となるときの点Dの位置を求めたいから,点D から直線 l に垂線 DC を下ろし、 線分 DC の長さを xm とする。そして, 三角比を使って式を作ればよい。 ゆうだい D l A 18m B 12m 角度の問題だから, 2点A, B を通り半直線 CD に接する円をかいて, 円周角の定理あるいは 円周角の定理の逆を使えばよい。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) 図とれいさんの考えを使って問題を解くとき、次の小問に答えよ。 (i) ∠ADC= α, ∠BDC = β として, tan0 を tana, tan β を用いて表せ。 (ii) tan 0 を x を用いて表せ。 (iii) 0 が最大となるときの, tan0 と xの値をそれぞれ求めよ。 (2) 図とゆうだいさんの考えを使って問題を解くとき,この人がこの垂れ幕の上端と下端を見込 む角が最大となる位置は, ゆうだいさんのかいた円と半直線 CD との接点になることを示せ。

⑵の証明問題で、二項定理を使って証明をすることはできませんか？ あと、なぜ10で割った時のあまりで考えるだけでは、他の数字の割った余りが0になる可能性もあるのではないですか？

6 2021年度 文系 [1] iを虚数単位とする。 以下の間に答えよ。 Level B 201 (1)=2.3.4.5のとき(3+1)*を求めよ。 またそれらの虚部の整数を10で割っ た余りを求めよ。 (2)を正の整数とするとき (3+i)" は虚数であることを示せ。 (1) ポイント (1) (+)=(3+i) (3+i) を用いて順に計算する。 (2) (1)から実部, 虚部をそれぞれ10で割った余りが推測できるので,数学的帰納法を 用いて,そのことを証明する。 解法 (3+i) =9+6i+i=8+6i (答) (3+1)=(3+i)(3+i) = (8+6i) (3+i) = 24 +26i + 6i = 18+ 26 ...... (答) (3+i) = (3+i) (3+i) = (18+26i) (3+i) =54+96i +26i = 28 +96z (答) (3+1)=(3+i) (3+i) = (28+96z) (3+i) =84+316i+96i=-12+316i ...... (答) 1 §2 整数 数列 式と証明 85 = {10 (3a-b+1) +8}+{10 (a +3 + 2) + 6}i よって、(3)の実部 虚部はいずれも整数であり,実部 虚部を10で割った 余りはそれぞれ8,6であるので, n=k+1のときも①は成り立つ。 [I][II]より2以上の整数nについて① が成り立つ。 したがって、nが2以上の整数のとき,(3)”の虚部は0ではないので,(3+j)"は 虚数である。 数である。 M また、n=1のとき,3+iは虚数であるので,nを正の整数とするとき,(3+i)"は虚 〔注〕 (2) (1)の結果から,n≧2のとき虚部を10で割った余りはつねに6と予想されるが, (証明終) 数学的帰納法を用いて証明するので,実部を10で割った余りが8であることもあわせ て証明する。なお,n=5のとき,実部は-12=10×(-2)+8であるので, 10で割った 余りは8である。 n=1のときは別であるので注意すること。 平 またこれらの虚部の整数を10で割った余りは,いずれも 13とする 6 (答) (2) 2以上の整数nについて (3+i) の実部虚部はいずれも整数であり、実部 虚部を10で割った余りはそ れぞれ8,6である」 ・・・・・・① ( (dp)=in が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 [I] n=2のとき (d)-8 (3+ 1) =8+6iの実部は 8. 虚部は6であるので、①は成り立つ。 4 [II] n=k (k=2,3,4, ...) のとき, ①が成り立つと仮定する。 このとき,a,b を整数として(3+i)=(10a+8) + (106) iとすると(ds) (3+i)+1=(3+i)*(3+i) ={(10a+8) + (10b+6)}(3+i) = (30a +24) + (10a +30b+26) i+ (10b+6) i² = (30a-10b+18) + (10a +30b+26) i

高一図形 メネラウスなどを使うよそうは出来るのですが分かりません教えてください🙏

R B 3 [2021 東京慈恵会医科大] △ABCおいて, AB=3, AC=7, ∠BAC=90° のとき,辺ABを12に内分する点を R, 辺 AC を16に内分する点を Q. 3点 B,Q,R を通る円0と辺ACの交点でQと異なる点をP とする。 線分 BP と線分 CR の交点をS, 円O と線分 CR の交点をTとするとき. 次の問いに 答えよ。 (1) CS SR を求めよ。 (2) 線分 STの長さを求めよ。

高一図形 あまりこの三角形の図形が浮かばず解法が思いつきません。教えてください🙇‍♀️

1 [2021 防衛医科大学校 ] AB=6,BC=4, CA = 8 である。 △ABCの内心をI とする。 また, △ABCの内接円と 辺BCの接点をDとする。 このとき,△ADIの面積はいくらか

高一数Aです。 124(4)の1行目(a5乗🟰7でわった…)のところから意味がわかりません。 解説して頂けるとありがたいです🙇‍♂️

○ 整数 n は, たときの余 基本 例題 124 割り算の余りの性質 000 a は整数とする。αを7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき, 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1)α+26 (2) ab (3) α^ (4) a2021 p.536 基本事項 1,3 指針 前ページの基本事項の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3)は, a=7k+3,b=71+4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7k+3)を展開して、7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒 d' = (42)2 に 着目し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質 4αをmで割った余りは,r” をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは「32021を7で割った余り」であるが,32021 の計算は不可 能。 このような場合,まず α” をmで割った余りが1となるnを見つけることか ら始めるのがよい。 CHART 割り算の問題 A=BQ+R が基本 537 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) a=7k+3,6=7l+4(k, lは整数) と表される。 解答(1) α+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8 IS+ bh=7(k+21+1)+4 したがって,求める余りは 4 =7(7kl+4k+3 +1) +5 7 を除法の原 と呼ぶこと る。 -7.(-4)-2 ると,0≦x<b (8+1 (2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7(4k+3l)+12 (I+ したがって、求める余りは 5 Tour to a hely かしいり たさない。 のときa=bg りαはもの倍 5. bはαの約数で Bk のとき, A 3の倍数。 n<b ると (3)²=(7k+3)2=49k²+42k+9=7(7k²+6k+1)+2 d2=7m+2(m は整数) と表されるから Da=(a²)²=(7m+2)²=49m²+28m+4 したがって=7(7m²+4m)+4 したがって,求める余りは 今 AE)E= (4)(3)より, αを7で割った余りが4であるから,7 で割った余りは, 4･3を7で割った余り5に等しい。 ゆえに,αを7で割った余りは5・3を7で割った余り 1に等しい。 α2021=(a)336.α5であるから, 求める余りは,1336.5=5 を7で割った余りに等しい。 したがって, 求める余りは 5 別解 割り算の余りの性質 を利用した解法。 (1)2を7で割った余りは 2(2=70+2) であるか 25を7で割った余 りは2･48を7で割っ た余りに等しい。 ゆえに α+26を7で 割った余りは3+1=4を 7で割った余りに等しい。 よって、 求める余りは 4 (2) abを7で割った余り は3･4=12を7で割った 余りに等しい。 よって、 求める余りは 5 (3)αを7で割った余り は3=81 を7で割った 余りに等しい。 よって、 求める余りは 4 このとき

2枚目の赤線のところがどうしてこうなるかわかりません🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️ よろしくお願いします、、！

2022年度 数学 27 問題3の解答は解答用紙 3 に記入しなさい。 3 以下の問いに答えなさい。 ただし, 空欄 (あ) 数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 ~ (こ)については適切な 関数 f(t) を f(t) = -2sin(2t-™)+4sint と定める。 (25点) (う) となる。 ただし, ○(1) 方程式 f(t) = 0 の解を, 0≦t≦2 の範囲で求めると,t= (い) (あ) (あ) < (い) (う) とする。 自然数nに対し、関数 Hn(x) を x+x Hn(x)= |f(t)\dt (0 ≤ x ≤2T) (2) と定める。 (2) H₁(0) == (え)である。 △(3) 0≦x≦の範囲を動くとき, H1 (z)の最小値は(お) 最大値は ' (か) である。また,x≦x≦2の範囲を動くとき,H1(x) の最小値は (き) 最大値は(く)である。 (4) 自然数に対し, H2k(z)をkを用いて表すと, H2k()=(け)である。 X (5) aを実数の定数とする。方程式 H2021(x)=aが,0≦』≤ 2ヶ の範囲で異なる 3つの解をもつとき, a=(こ)である。 (こ)の値を導く過程も所定の場所に書きなさい。

x.yを解にもつtの二次方程式というのを思いつくまでの過程が分かりません。こういう場合に使うなどがあれば教えて頂きたいです🙇‍♀️

Site 9'6 (9) to ynsm (b) 第2問 x2 = 2020+yとy=2020yを満たす,y(エ≠y)について,+y, mty, ay の値はそれぞれ x+y= (5) x2+y^2= (6) × (7) xy=(8) である。 ただし, (6) と (7) は4桁の自然数で答えよ。 このことから α = 2021 としてx> yのときx,yの値をαを用いて表すと= (9) (10) y= である。