-
![]()
146
基本 例題
85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値(I)
(2,k+8)
(a=20)
解答
(1) 関数y=2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数kの値
を定めよ。また,このとき最小値を求めよ。
(2) 関数 y=x2-2ax+a2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような止の定数
αの値を求めよ。
のよ
基本 80, 82 重要 86
指針 関数を基本形y=a(x-p)+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め、
(1) (最大値)=4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2)では,軸x=a(a>0) が区間0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART
2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
(1)=-2x28x+kを変形すると
y=-2(x-2)2+k+8
よって, 1≦x≦4においては,
y 最大
k+8---
区間の中央の値は 2/2
で
4
右の図から, x=2で最大値+8
012
あるから,軸x=2は区
間 1≦x≦4で中央より
左にある
をとる。
ゆえに k+8=4
最小
最大値を4とお
の方程式を解く。
よって k=-4
このとき, x=4で最小値4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α2-2a を変形すると
y=(x-a)2-2a
[1]02a=2のとき、x=aで
最小値 2αをとる。
[1] y
軸
重
定義域
とき,
指針
解答
11
2a=11 とすると a=--
a
2
O
2
これは0<a≦2を満たさない。
[2] 2<αのとき, x=2で
-2a--
最小
x
AX
< 「αは正」に注意。
<0<a≦2 のとき,
軸x=αは区間の内。
→頂点 x=αで最小。
最小値 22-2α・2+α2-2a,
つまり-6a+4をとる。
α2-6α+4=11 とすると
a2-6a-7=0
[2] y
2
a
-6a+4 i
の確認を忘れずに。
は区間の右外。
2<αのとき,
軸
→区間の右端 x=2で最
立
最小
a
(a+1)(a-7)=0
これを解くと a=-1,7
02
x
2 <αを満たすものは
a=7
の確認を忘れずに。
以上から、 求めるαの値は α=7
-2a
練習 (1) 2次関数y=x-x+k+1の-1≦x≦1における最大値が6であるとき,定数
③ 85
んの値を求めよ。
(2)関数y=-x+2ax-a-2a-1-1≦x≦0) の最大値が0になるような定数
0030 SENOM p.159 EX61
α の値を求めよ。
