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94 数列{√3m² + 2n+1 + an} が収束するように定数αの値を定めよ。 また, そのときの数列の極限
値を求めよ。
a≧0 のとき, lim(√/3n² +2n+1+an)
∞ であるから
>0のとき 00+00
α = 0 のとき 00+0
{√3m² +2n+1 + an}収束しない。 (発散する)
= (0+0) = 0
limb=lim
+80
70-+00
(an+bn)-(an-bn)
2
=
2
{lim(an +bn) — lim(an − bn)}
1
=
(0-0)=0
2
α < 0 のとき
√3m² + 2n+1+an=
(√31 -2n+1+an)(√3m² +2n+
an)
分子を有理化する。
したがって,この命題は真である。
3n2+2n+1-an
3n2+2n+1²n²
√3m² +2n+1
96 lim (pn²+n+g)a=p+1のとき, 数列{a}
(3-4)n²+2n+1
=
N
/3n² +2n+1-
(ア) 0 のとき
よって
ne
lim(√3n²+2n+1+an) = lim
(3n+2n+1
28-00
2+2n+1-an
=
00
mn²an = lim (pn²+n+q)an··
lim(pn²+n+g)an
pn²+n+
1
1
p+ 4
(3-a)n+2+
n
=m
88810
分母分子をnで割る。
1
2
1
3 +
(p+1)··
p+1
+
-a
根号の中は
と
p
Þ
n n²
して割る。
(イ) p=0 のとき
a² = 0
nの係数3
が
lim(n+g)an=1でるから
-
0 であれば,○○
収束するためには
α <0 より
3
このとき, ①は
1
2 +
n
2
3
lim
2
1
3 +
+ + √3
2√3
3
n
n
したがって
a=― √3. 極限値
√3
3
95
数列{a}, {6}において,次の命題の真偽をいえ。
たは∞ に発散する。
=
limn
(1) liman=8, limb =∞ ならば lim (a-b)=0
00
8-1
(2) lim (a+b) = 0, lim (a-bm) = 0 ならば lima = limb=0
81-0
100
(1) an=ne,b=n とすると, lima=∞, limb = であるが
10
lim(an-bn)= lim (n2-n)
28-00
したがって,この命題は偽である。
0
480×18
1 (1-1)=
= 10
(an+bn)+(an−bn)
(an+bn)-(an-bn)
2
(2) an=
ら, lim(an+6m)=0,lim (an-bn) = 0 のとき
bn =
であるかan, by を an+b,
2
a-b で表す。
(an+bn)+(an-bn)
limax= lim
18-00
→0
2
{lim(an+bn) +lim(an-bn)}
2
n2
limnan lim(q)
n+g
n
= lim (n+
= ∞0
1+P
n
(ア)(イ)より、 求める極は
Jp≠0のとp+1
lp=o
= 0 の
8
P
97 極限値
1
2n-1
(n+sinn) を求めよ。
1
(nsinn0)
n
sinn0
+
2n-1
2n-1 2n-1
n
1
1
ここで lim
= lim
=
- 2n-1
1
2
2
n
また、すべてのnについて -1 sinne 1
2n0 より 辺々を2-1で割ると
1
sinn0
1
2n-1 2n-1 2n 1
1
ここで, lim-
= 0, lim
2n-1
1
-2n-1
=0 であ
sinn0
けさるうたの
lim
