2番ってこれ以外にやり方はありませんか？

重要 例題 62 ベイズの定理 3つの箱 A, B, C には, それぞれに黒玉, 白玉,赤玉 が入っている。 それらの個数は右の表の通りである。 無作為に1つの箱を選び, 玉を1つ取り出す。このと き、次の確率を求めよ。 (1) 取り出した玉が黒玉である確率 (2)取り出した玉が黒玉のときに,それが箱Aから取 り出された確率 黒玉 A B C 5 7 2 白玉 20 17 22 赤玉 1560 24 [学習院大 ] 基本 57 CHART & SOLUTION (2) Aの箱を選ぶという事象をA, 黒玉を取り出すという事象をK とすると, 求める確率は, 事象Kが起こったときの, 事象Aが起こる 条件付き確率 Pr(A) である。 [S] 解答 本 箱 A, B, C を選ぶという事象を, それぞれ A, B, Cとし, (1) 1つの箱を選ぶ確率は 黒玉を1個取り出すという事象をKとする。 (1) P(K)=P(A∩K) +P (BK)+P (C∩K) =P(A)PA(K)+P (B)PB (K)+P (C)P(K) 1 5 1 7 1 2 + × + × 3 40 3 84 3 1/3であ 12 であり,玉の総数は A: 40, B:84,C:48 IMA 乗法定理を利用。 1/1 1 + + 1 1 I 38 12 24 12 (2) 取り出した玉が黒玉 ･･結果 P(A∩K)__ (2) 求める確率は Pr(A)= P(K) 24 12 2 それが箱から取り出さ れていた ･･･原因 08 08 INFORMATION ベイズの定理 基本例題 57 において, B=A とおくと PE(A)=- P(A)PA(E)丁目 C KAK BOK COK P(A)PA(E)+P(A)P(E) が成り立つ。 また, 重要例題 62においても PÂ(A)= P(A)P₁(K)+P(B)PB(K)+P(C)Pc(K) P(A)PA (K) E が成り立つ。これらの式をベイズの定理という。 =(8)

マーカーで引いた部分がなぜ、ａｎはプラスになるのに、bnはマイナスになるのかわからないです。２分の1はどこから出てきたのかわかりません。半分で割ってるということでしょうか？至急で教えてもらえるとありがたいです

いに答えよ。 ...D, bn+1=an+3bn ...... 基本29 数列{an},{bn} が次のように定め α=4, b1=1, an+1=3an+bn (1) 数列{an+bn},{an-bn} の一般項を求めよ。 (2) 数列{an},{bm} の一般項を求めよ。 CHART & SOLUTION 振り 返り ① 隣接 a₁ = 数列{an}, {bn} の連立漸化式 数列 2 p |1 an+1+abn+1=B(an+αb) を導く 数 12 α (またはbm) だけの漸化式を導く 隣接3項間の漸化式となる。 3 (ア) 解答 (1) ①+② から an+1+bn+1=4(an+bn) inf. an+i+ab+ 数列{an+bn} は, 初項 α1+b1= 5, 公比4の等比数列であ=B(a+b)と変 るから ①②から an+6n=5.4-1 an+1-bn+1=2(an-ón) 数列{an-bn} は, 初項 α-b1=3, 公比2の等比数列であ ると、数列 比数列になる。 ①②から an+1+abn+1 =(3an+b)+ala+ 5 (イ) るから an-bn=3.2"-1 (2)(1) から an (5.4"−1+3·2"-¹), b₂ = 1 ½ ( (5.4"-1-3·2n-1) 別解 ①から bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1 これらと②から よって an+2-3an+1=an+3(an+1-3an) an+2-6an+1+8an = 0 Jan+2-2an+1=4(an+1-2an) これを変形すると an+2-4an+1=2(an+1-4an) 数列{an+1-2an} は, 初項 a2-2a1= (3a1+b1)-2a1=5, 公比4の等比数列であるから an+1-2an=5・4"-1 ③ 数列{an+1-4an} は, 初項 a2-4a1= (3a+b1)-4a1=-3, 公比2の等比数列であるから =(3+α)an+(1+30) B=3+α, QB=1+3a から α(3+α)=1+3u よって α=±1 ゆえに、数列 { an + bal. {an-bn} は等比数列と る。 inf. CHART& SOLUTION の国につい て。 まず 連立漸化式の 辺の差を求めよう。 の形を導けることがある。 6 2 ⑦ an+1-4an=-3・27-1 ④ 1 ③④から 2 an (5.4"-1+3.2n-1) を消去する。 ゆえに、①から bm=an+1-3an = 1/12(5・4"-1-3・2"-1) 階

【2】で、赤線を引いたとこはなぜ出て来るのかを教えて欲しいです。私はX＋１>=0だと思いました🥹‪ お願いします

基本 例題 35 (1)|3x+8|=5x 絶対値を含む方程式 (場合分け) 次の方程式を解け。 00000 (2) x+1|+|x-1|=2x+8 基本 22 CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け (1)||= (正の定数)ではないから、基本例題 34(1),(2)のようには解けない。そこで a≧0 のとき |a|=a, a < 0 のとき |a|=-a により、場合分けをして絶対値記号をはずす。 → 絶対値記号内の式3x+8が0となるxの値が場合の分かれ目になる。 なお,得られた解が場合分けの条件を満たすかどうかを必ず チェックすること。 (2) x-1<0 x-1≥0 _x+10 x+1≥0 (2)2つの絶対値記号内の式x+1, x-1が0となるの値は, それぞれ-1,1であるから, x1 -1≦x<1, 1≦x の 3つの場合に分ける。 場合の分かれ目 解答 1章 1次不等式 (1) [1] 3x+80 すなわち x! のとき 8 1内の式≧0 の場合。 |3x+8|=3x+8 方程式は 3x+8=5x これを解いて x=4 8 これはx≧- を満たす。 3 8 [2] 3x+8<0 すなわち x のとき | |内の式<0 の場合。 3 |3x+8|=-(3x+8) 方程式は -(3x+8)=5x これを解いて x=-1 マイナスをつける 8 3 これはx<- を満たさない。 に分ける E したがって, 方程式の解は をはず x=4 (2) [1] x<-1 のとき -(x+1)-(x-1)=2x+8x+1<0, x-1 <0 これを解いて x=-2 これはx<-1を満たす。 *[2] -1≦x<1 のとき (x+1)-(x-1)=2x+8 Aと 成立 x+10, x-1 < 0 [3] 1≦x のとき これを解いて x=-3 これは-1≦x<1を満たさない。 (x+1)+(x-1)=2x+8 x+1>0, x-1≧0 整理すると0.x=8 となり, これを満たすx は存在しない。 したがって, 方程式の解は x=-2 ■ (1) 3x+8|≧0 から 5x≧0 すなわち x 0 よって, 3x+8≧0 であるから 3x+8=5x と進めてもよい。 このように, |A|≧0 の利用が役立つ場合もある。

⑴はわかるのですが、⑵がわかりません。解説お願いします。

152 ① 9/4(1)×(2)× 基本 例題 91 不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式)○○○○○○ (1) すべての実数xについて、不等式 x-ax+2a>0 が成り立つように, 定数 αの値の範囲を定めよ。 D [東京電機大] (2) すべての実数xに対して、 不等式 kx2+(k+1)x+k≦0 が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 CHART & SOLUTION dp.146 基本事項 2 MOITUJO 2 & TRAD

（2）でなぜx>0なのですか

94 うちで,点(e, 2) を通るものを求めよ。 基本 例題 119 導関数から関数の決定 (1) f'(x)=xe*, f(1) = 2 を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) f(x)はx>0 で定義された微分可能な関数とする。 曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きがで表される曲線の DOOOO 1 x p.180 基本事項 1 CHART & SOLUTION 導関数から関数の決定 積分は微分の逆演算 積分 F'(x)=f(x) 微分 (1) f(x)=√xe* dx Sf(x)dx=F(x)+C なお,右辺の積分定数Cは,f(1)=2 (これを初期条件という) で決まる。 (2)(接線の傾き)=(微分係数) よって 点(e, 2)を通るf(e) =2 (初期条件) f(x)=1/2 -> 積分定数Cが決まる。 解答 (1)_f(x)=√xe*dx={x(e*)'dx=xe*(x)'e*dx =xex-fe*dx=(x-1)e*+C (Cは積分定数) f(1) 2 であるから C=2 ゆえに f(x)=(x-1)ex+2 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きは f(x)であるから f(x)=1/2(x>0) よって f(x)=2x=logx+C(Cは積分定数) x f(x)== この曲線が点 (e, 2)を通るから 2=loge+C ゆえに C=1 したがって, 求める曲線の方程式は y=logx+1 部分積分法 Se⭑dx=e'+C x>0 であるから |x|=x f(e)=2, loge=1 PRACTICE 119 (1)x>0 で定義された関数 f(x) はf'(x)=ax- (αは定数),f(1)=a, f(e x を満たすとする。 f(x) を求めよ。 〔名 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きが2であり,かつ,この が原点を通るとき,f(x) を求めよ。 ただし, f (x)は微分可能とする。

質問です。東大数学理系1992の(2)です。何故この問題ではEが最大になるときではなくE≧0のときと書かれているのでしょうか

CORE 玉も隣り合わない条件付き確 率 αを求めよ。 < '23 東京大> 1992年度 東京大学 数学(理科) ☆第6問 A,Bの二人がじゃんけんをして, グーで勝てば3歩, チョキで勝てば5歩, パーで勝てば6歩進む遊びをしてい る。 1回のじゃんけんでAの進む歩数からBの進む歩数を引いた値の期待値をEとする。 (1) B がグー, チョキ,パーを出す確率がすべて等しいとする。 A がどのような確率でグー, チョキ, バーを出すと き, E の値は最大となるか。 (2) B がグー, チョキ, パーを出す確率の比がα: b:cであるとする。 A がどのような確率でグー チョキ, パーを出 すならば, 任意の a, b, c に対しE≧0となるか。 nを2以上の整数とする. 1からnまでの番号が付いたn個の箱があり,それぞれの箱に は赤玉と白玉が1個ずつ入っている このとき操作()

赤線のところなのですが、なぜtの変域を定める必要があるのでしょうか。sに変域があるからですかね、

360 基本 例題 123 2次曲線上の点と定点の距離 楕円 C: x2 +y2=1 上の x≧0 の範囲にある点をPとする。点Pと定点 3 A(0, -1)の距離を最大にするPの座標と,そのときの距離を求めよ。 CHART & SOLUTION 曲線上の点と定点の距離の最大値・最小値 (距離) の式で考える 曲線上の点P (s,t)の満たす条件から、 (距離) すなわち AP2はもの2次式で表される(P のx座標についての条件 s≧0 に注意)。 よって, tの2次関数の最大値問題の値の範囲に注意) として解くことができる。 解答 P(s, t) とする。 ただし, s≧0とする。 点Pは楕円C上の点であるから (1-) s² -+t=1 ...... ① x 3 よって s2=3(1-t2) -1 A s2≧0 であるから 3(1-2)≥0 ゆえに t1 ...... ② したがって AP2=s2+(t+1)2 =3(1-t2)+(t+1)2 =-2t2+2t+4 ← s≧0からtのとりう る値の範囲を求める。 ②の範囲のについて,AP2 は t=1/23 で最大値 1/2をとる。 AP≧0 であるから, AP2が最大のとき, APも最大となる。 1-1/2 のとき,①から / +1-1 t= s≧0 であるから S= 3 3 2 ゆえに,P(23, 1/12) のとき最大となり、そのときの距離は 19 3√2 V2 = 2 2次関数の最大・最小は y=a(x-p)+q に変形して考える。

解き方を教えてください！！

164 重要 例題 96 2 変数の不等式の証明爆実験 600 b が成り立つことを証明せよ。 ●基本 92 93 0<a<b<2r のとき,不等式bsin/asin/12 CHART & SOLUTION 2変数 α, bの不等式の証明問題であるが,本問では左右にそれぞれある変数a, b,左辺 にはαのみ,右辺にはbのみが集まるように変形して,同じ関数で表せないかを考える。 不等式の両辺を ab (0) で割ると bsinasin b 変形 a 1 sin >> 1s b a b -sin F(a,b)>F(b, α) の形 f (a) >f (b) の形 1 XC よって、f(x)=1/27sin 2017 とすると,示すべき不等式は f(a)>f(b) (0<a <b <2 ) つまり,0<x<2πのとき f(x) が単調減少となることを示せばよい。 解答 0<a<b<2のとき、不等式の両辺を ab(0) で割ると 1 (1) a 1 sin sin a b 2 x この不等式が成り立つ ことを証明する。 ここで,f(x) = 1/12sin 1/2 とすると x 1 x COS 2 2x f'(x)=sin+cos x =2(xcos -2sin) x g(x)=xcos 2x2x COS x 2012 in 1 とすると 2 g'(x)=cos-sin-cos-sin 2 x / 2 x smil 0<x<2 のとき,0πであるから g'(x)<0 f= (uv)'=u'v+uv' ゆえに は符号 よって、 ← f(x)の式の が調べにくいから, g(x)の符号を調べる。 g(x)= として のとき よって,g(x)は 0≦x≦2πで単調に減少する。 sin > 0 また,g(0)=0であるから, 0<x<2πにおいて g(x) < 0 すなわち f'(x) <0 よって,f(x)は 0<x<2で単調に減少する。 YA 0 すなわち bsin 12/asin/1/23 ゆえに, 0<a<b<2 のとき 1/12 sin 1/2 1/18 sin する a f(a) 1 b 2 a y=f(x) To a b 2 f(b)

イの問題で解説のベン図も、"ここがない"の意味も分かりません😭教えてください

●集合の共通部分集ロ (ア)空欄にあてはまる適切な論理式を選択肢より選んで答えよ。 (1) (AUB)N(AUC)=AUD (昭和女子大,一部省略) (2) (ANB)U(ANC)=AN() (3) (A∩BNCnc=nc 選択肢 (a) AUB (c) CUA (b) BUC (d) ANB (e) BNC (f) CNA (g) AUB (h) BUC (j) A∩B (i) CUA (イ 空欄に下の条件 P1 ~ Pa から正しいものをひとつ選んで入れよ。 (k) BNC (1) CNA 明治学院大・文,一部省略) ABと同値な条件は (1) BOAと同値な条件は (2) ABと同値な条件は(3). P1: (A∩B) B P2: (A∩B) A ベン図を描くのが基本 P3: (AUB) A P(A∩B) B 集合の共通部分・和集合・ 補集合をとらえる基本はベン図を描くことであ る。ベン図から,「分配法則」や「ド・モルガンの法則」が成り立つことが分かる。ベン図を描く方法に これらの法則を適宜組み合わせるといった使い方もできるようにしておくとよいだろう。 解答言 (ア) (1)~(3)の左辺が表す集合をベン図に描くと下図のようになる. (1) A (2) A B (3) B A 例えば (1) を図示するには、 AB、 AB. B AUB= CAUC= の共通部分 (n) を図示して、左 図のようになる。 C (1) (AUB) (AUC)=AU (BC) となり,答えは, (e) (2) (A∩B)U(ANT)=AN(BC) となり,答えは, (k) (3) (A∩BNC)n=(A∩B) ∩Cとなり, 答えは, (j) 注 (1) 分配法則 (p.68の① で,右辺 左辺) の式である. (2) (A∩B)U(ANT)=AN(BUT)=AN(BC) (3) (A∩BNC)n=(A∩BUT)C=(A∩BNC)U(TOC) =(A∩BNC) UΦ=ANBNC (イ) P1~P4の条件の左辺を網目部で表すと, 以下のようになる。 P(A∩B)⊃BP2: (A∩B) AP3:(ĀUB) A P(A∩B) B A BA D D B A B A (1)のベン図は, A以外に BNC の部分も含んでいることか ら答えを探す. (2)(3)も同様 ←式変形で解くと左のようになる。 最初の等号は分配法則, 2番目は ドモルガンの法則による. B 網目部⊃右辺となる条件を求め る.例えば, P1 の場合、網目部が Bを含むことになり、太枠部で まれた部分がない (空集合) こと になる. ここがない ACB ⇔AB ⇔AB がない ⇔ACB 以上により,答えは,(1)... P1, (2)... P3, (3) P2 (網目部⊃B) ⇔B=Φ 1 羽 一般に, XCYX(上 図参照)

数IIの軌跡と方程式の問題です 青色のマーカーの「逆に」という部分が どこから導き出せたか分かりません 2問同じところで分かりません 教えてください🙏

られた条件を付 を求める 本 例題 98 曲線上の動点に連動する点の軌跡 ののののの 点Qが円x+y=9 上を動くとき、点A(1,2)とを結ぶ線分AQ を 2:1 に内分する点Pの軌跡を求めよ。 p.158 基本事項 CHART & SOLUTION る。) ものを除く 連動して動く点の軌跡 9 点Pが 。 s2+t2=9 1・1+2s x= 2+1 1+2s y= ラ 3 2+1 よって S= ラ -31-1,1-31-2 t=3y-2 つなぎの文字を消去して,x だけの関係式を導く ****** 動点Qの座標を(s, t), それにともなって動く点Pの座標を (x, y) とする。 Qの条件をs, を用いた式で表し,P,Qの関係から, s, tをそれぞれx,yで表す。 これをQの条件式に 代入して, s, tを消去する。 3章 解答 Q(s, t), P(x, y) とする。 Qは円x2+y2=9 上の点であるから Pは線分AQ を 2:1 に内分する点であるから 13 YA 3 軌跡と方程式 ① (s,t) 1.2+2t 2+2t A (1,2) 13. 0 x 3 2 こんに内分 P(x,y) -3 .y) これを①に代入すると3x21)+(3v=2)=9 つなぎの文字 s, tを消 2 2 9 ゆ x- + V =9 4 3 + melli 去。 これにより,Pの条 ugetug件(x,yの方程式)が得 られる。 よって(x-/1/3)+(y-2/28)2-4 =4 ***** (2) 以上から、 求める軌跡は 中心 (1/3 2/23 半径20円 P(y)とがいて POINT 曲線 f(x, y) = 0 上の動点 (s,t) に連動する点(x, y) の軌跡 ① 点 (s, t) は曲線 f(x, y) =0 上の点であるからf(s, t) = 0 したがって,点Pは円 ②上にある。 逆に円 ②上の任意の点は、条件を満たす。 上の図から点Qが |円 x2+y2=9上のどの位 置にあっても線分AQ は 存在する。 よって, 解答で 求めた軌跡に除外点は存在 しない かなを満た妨方程式で導いたのだから、Pはその方程式の ・表札・図形 ほあ ② s, tをそれぞれx, yで表す。 ③ f(s, t)=0に②を代入して, s, tを消去する。