251 3次曲線と接線の間の面積
|曲線y=x²-5x2+2x+6 とその曲線上の点 (3, -6) における接線で囲まれた図|
形の面積Sを求めよ。
・基本 248 250 重要 252
例題
基本
指針
面積を求める方針は
② 積分区間の決定 3③
① グラフをかく
上下関係に注意
本問では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
また,積分の計算においては,次のことを利用するとよい。
3次曲線 y=f(x)(x3の係数が α) と直線y=g(x) が x=αで接するとき, 等式
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-B) が成り立つ。
14 DACIA edendeD
6
y=3x²-10x+2であるから,接線
の方程式は
y-(-6)=(3・32-10-3+2)(x-3)
すなわち
y=-x-3
TO
この接線と曲線の共有点のx座標
は,x-5x2+2x+6=-x-3の解
である。
これから x5x2+3x+9= 0 (*)
ゆえに
(x-3)^(x+1)=0
よって
x=3, -1
したがって, 図から, 求める面積は
S=S_{(x-5x2+2x+6)(x-3)}dx
-1
13
={x-3)"] +4[(x-3)" ] -
10
-64+
-3
-6
3
x
256_64
3 3
曲線 y=f(x) 上の点
(a, f(a)) における接線
の方程式は
y-f(a)=f'(a)(x-α)
左辺が(x-3)² を因数に
もつことに注意して因数
分解。
1 -5 3 93
3-6-9
1
=f'(x-3)(x+1)dx
=f'(xー3)^{(x-3)+4)dx={(x-3)+4(xー3)^)dx(x-a)(x-3)
-2 -3
3 3
0
1 1
03
=(x-a)^{(x-2)-(B-α)}
◄ S(x− a)"dx= (x−a)"+1
n+1
+C
Aの形に因数
393
7
4面
#
Cat
