導関数
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(1) f(x), g(x) をxの整式とするとき, 次の等式を証明せよ。
{ƒ(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+ƒ(x)g'(x)
(2) f(x) を0でないæの整式とする. 自然数nについて
d
¹/__ { f(x)}" =n{f(x)}"~¹ƒ'(x)
dx
であることを証明せよ.
精講
の特殊な例です. どちらも数学Ⅲで
扱うものですが、知っておいて損はないでしょう.
(1) 導関数 f'(x) の定義から出発しましょう.
関数 y=f(x) が与えられたとき、xのおのお
のの値αに対し,f'(a) が存在するとき, 対応
a→f'(a)は1つの新しい関数となります。
これはf(x) から導かれた新しい関数ですから,
f(x) の導関数 (derived function, derivative)
といい, f'(x) と表します。
(x)^x=(1)
f'(x)=lim
f(x+h) -f(x)
h
h→0
f(x) から f'(x) を求めることを微分するとい
います. 導関数の表し方は f'(x) のほかに
dy
d
y', y, dr' anf(x), Df(z)
(1) は積の微分, (2) は合成関数の微分 解法のプロセス
dy
などもあります。」はニュートン, dx
(1) {f(x)g(x)}'
=lim
h→0
BROSSARD a 213
ニッツが用いた記号です.
(2) 自然数nについての証明問題ですから,数
学的帰納法を使うとよいでしょう.
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
=lim
h→0
はライプ
解答
(1)積の微分
iu-te {f(x)g(x)}
導関数 f'(x) の定義
↓
f(x+h)-f(x)
h
lim-
h-0
↓
(滋賀大)
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(2) 合成関数の微分
{(f(x))"}'
=n{f(x)}"-¹f'(x)
AJSHOW
特に
{(ax+b)"}'
=na(ax+b)-1
この公式は使えるようにして
おこう
{f(x+h)-f(x)}g(x+h)+f(x){g(x+h)-g(x)}
導関数の定義
◆f'(x), g'(x) が現れ
るように工夫する
第6
