（3）の部分分数分解の仕方に納得いきません なぜXとX^2とX -1に分けられるのでしょうか？

頻出 ★☆☆ 例題 142分数関数の不定積分 次の不定積分を求めよ。 (1) 12x²-x-2 dx (2) (2) S dx (1)~(3) いずれも f'(x) f(x) 次数を下げる の形ではない。 (x+1)(2x+1) dx 頻 (3)√x²(x-1) 次数下げが、 わからん (1) Re Action (分子の次数)≧(分母の次数)の分数式は、 除法で分子の次数を下げよ B 例題 17 (2), (3) 分母が積の形部分分数分解 1 a b x+1 2x+1 (2) (x+1) (2x+1) 1 (3) x²(x-1) ax+6 x2 C +. a b x-1 + + x 17 x² x-1 Action» 分数関数の積分は,分子の次数を下げ、部分分数分解せよ 2x²-x-2 dx = √(2x-3+x+1)dx (1) S2 x+1 1 -1)、 61 (x+1)(2x+1) はらうと より 52x =x 2-3.x +log|x+1+C a + a, b, c の値を求める 4 分子を分母で割ると 2x-3, 余り 1 不定積分 b とおいて, 分母を部分分数分解 x+1 2x+1 a(2x+1)+6(x+1)=1 (2a+b)x+α+6-1 = 0 係数を比較すると, α = -1,6=2より (x J+1+ dx +1)(x+1)=(x+ 2 dx 2x+1 = -log|x +1 + log|2x + 1 + C (2a+b)x+α+6-1 = 0 はxについての恒等式で あるから 2a+b=0 la+6-1=0 )より sin 20 2 -dx 2x+1' = =10g | 2x+1 +C x+1 | = 2.1/23log|2x +1|+C 2 1 a b C 61 (3) + + x-1 うと x²(x-1) x ax(x-1)+6(x-1)+ cx2 = 1 (a+c)x2+(-a+b)x-6-1 = 0 係数を比較すると,α = -1,b=-1,c=1 より xについての恒等式であ るから fa+c=0 とおいて、分母をはら 部分分数の分け方 意する。 dx 1 1 1 + x2 x-1 1 問題141 -log|x| + 1 +log| JC ■142 次の不定積分を求めよ。 (1) √ x2+3x-2 x-1 dx x +log|x -1|+C x- +C JC (2) St 3x+4 d -dx (x+1)(x+2) -a+b=0 l-b-1=0 dx (3) √x(x + 1)² p.281 問題 142 269

指数方程式の問題です。 序盤も序盤ですが、 なぜこのふたつの問題で 2^X＝t とおいているのは同じなのに tの範囲が異なるのでしょうか(t＞0、t＞1) よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

D 187 指数方程式の解の個数[1) 開 ★★★☆ 方程式 4-2x+2 +k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 の値の範囲 4'-2+2+k=0 の 2" =t とおく 異なる実数解の個数 r-4t+k = 0 の おける異なる実数解の個数 に 対応を考えるとの対応を考える 右の図から1つのtの値に対して,xは1つ対応 例題 188 指数方程式の解の個数[2] についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+70 が異なる2つの正解を もつような定数の値の範囲を求めよ。 ReAction 文字を置き換えたときは, その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題76 思考プロセス t=2 [1対1 4+ (a+1)2+1+α+7 = 0 が 異なる2つの正の解をもつ 対応を考える t=2 とおく t2+2(a+1)t + α+7 = 0 が どのような解をもつか? 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題187 との違い... f(t)=aの形にすると,式が複雑になることに注意。 + (a+1)2 +1 +α+70…① とおく 182 2x = t とおくと, x>0よりt > 1 であり, ① は ･･･ ② +2(a+1) +α+7=0 底を2にそろえ, 2^= t とおく。 ... t=2* 4 章 x «WAction_f(x) =k の実数解は,y=f(x)とy=kのグラフの共有点を調べよ IA例題 118 与式を変形すると -(2F)2 +4.2 = k ... ① 4'= (2°)*= (2*)2 2x+2 = 2.22 = 42 指数関数 182 2 = t とおくと, t> 0 であり, ① は -12+4t = k .. 2 ここで, t = 2* を満たすx は, t> 0 であるtの値1つに 対して1つ存在する。 よって, 方程式 ① の異なる実数解の個数は, tの方程式 ② の10における実数解の個数と一致する。 ここで,f(t) + 4t とおくと f(t)-(2-2)'+4 方程式 f(t)kの1>0を満たす実 数は,y=f(t) (10)のグラフと 直線ykの共有点の座標である。 y4 y4 Myf(t) のグラフが軸とt>1の範 囲で2点で交わるのは、次の [1]~[3] を満たすときである。 y=f(t) 20個 ・1個 したがって、右のグラフより。 求める実数解の個数は k> 4 のとき 個 k [[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると D 2個 10 2 4t 1個 IA ここでt=2を満たすxは,t>1であるの値1つに 対して x>0であるxの値1つが存在する。 よって、の方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは、 tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) =P+2(a+1) +α+7 とおくと、 y y=f(t)| 2/4 = (a+1)-(a+7)= a +a-6 a+α - 6>0より (a+3)(a-2)>0 a .0 noiDAO 2次方程式の解と係数の 関係 α+β=-2(a+1) aβ=a+7 を利用して 判別式 D > 0 (α-1)+(B-1)>0 (a-1)(8-1)>0 からの値の範囲を求め てもよい。 ②を -(a+1), 01 D> 0 V

(2)の1行目から2行目の変形はどうやってしますか？

2章 微分法 ★☆☆☆ 例題 62 微分係数と極限値 公開 関数 f(x) が x = α において微分可能であるとき、次の極限値をa, f(a), ★★☆☆ f (a) を用いて表せ。 f(a+2h)-f(a-h) (1) lim (2) lim {af(x)}_{xf (a)}2 x-x-a noirs ( 7617 思考プロセス 定義に戻る 微分係数の定義 f(a+□)-f(a) f' (a) = lim- ・・・① または f'(α)= =lim f()-f(a) ロー ... 2 0 ☐ (1) ① の形に似ている。 f(a+)-f(a) の形をつくって調整 f(a+2h)-1 + -fla-h) (与式)=lim →0 [f(a+2h)- lim 0 h 2hにしたい +h)-1 →2af (a) (2)②の形に似ている。 分子は ( {af(x)+xf (a)}{af(x)-xf (a)} x-a 0 lim (af (x)+xf (a)). af (x)-xf (a) ②の利用を考える x-a Action» 関数 f(x) を含む極限値は、微分係数の定義を利用せよ (x)\ll (与式)=lim x+a )を掛け 圖 (1)(与式) = lim h まずし ff(a+2h)-f(a) ・2+ e)+1 = 2h -h | f ( a − h) = f (a) } | f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-h) (0)\ h +01 fla-h)- ームにしたい したい h A )2- ( 2の形。 0 あるが = {af(x) x-aL (a)] = f'(a) 2+ f'(a) =3f'(a) 化 (2)与式)=lim x-a 前項は分母を2hにして から2を掛けて調整し、 後項は分母をんにして 符号を調整する。 h0のとき {af(x)+xf (a)}{af(x)-xf(a)}(0) 2h0,-h0 = lim {af(x) + xf (a)}・ x+a であることに注意する。 x-a {af(x)-xf(a)} 分子を因数分解する。 x-a 不定形になる部分を f(x)-f(a) = lim {af(x) + xf (a)} x-a × af (x) - af (a) + af(a)-xf (a)] f(a)}] 0 分けて考える。 f'(a) = lim x-a 形をつくるために “-af (a) + af (a)” を追加 して考える。 x-a = lim (af (x) + xf(a)){a. f(x) = f(a) =2af (a){af (a)-f(a)} x-a 62 関数 f(x) が x = a, d' において微分可能であるとき,次の極限値を α, f'(a), f(a), f' (a) を用いて表せ。 (1) lim f(a+3h)-f(a+2h) h tol x²f(a²)-a² f(x²) (2) lim x-a x-a 125 p.138 問題62

対数関数の問題です なぜ（2）では最初に真数･底の条件を出しているのに （1）では出してないのでしょうか？ 下の方にそれについての説明があるのですが 同値の関係とは何のことでしょうかいまいちわかりません

本 例題 159 対数方程式の解法 logzx-210gx4=3 基本 次の方程式を解け。 (A) (logs.x)-210gs.x-3=0 CHART&SOLUTION f(logax) = 0 の形の方程式 おき換え [logx=t]でtの方程式へ変域に注意 この例題のように, loga M=10gaN の形を導けないタイプでは, logsx=tやlogax=1と おく。 このとき、 変数のおき換え・ → 変域に注意。 logsx=t とおくとは任意の実数の値をとりうる。 よって、10gsx=t のとき, x=3 が解となる。 (1) log.x=t とおくと, tの2次方程式の問題となる。 (2)が異なる問題底の変換公式で10gx4の底を2にそろえる。 なお,底に変数 xがあるから, 0, 底≠1」 の条件が付くことに注意。 [合 (1)10gx=t とおくと 12-21-3=0 慣れてきたら (2) のよう よって (t+1)(t-3)=0 ゆえに t=-1,3 すなわち logsx=-1,3 logs.xのままで処理 する。 したがって x=3-133 すなわち 27 ■ (2) 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x≠1 10g24 2 ①真数は正,底は1でない 正の数。 10gx4= であるから, 与えられた方程式は log2x log2x 10gzx- 4 =3 log2x よって 整理して ゆえに (10gzx) 24=310gx (logzx)2-310gzx-4=0 (logzx+1) (logzx-4)=0 両辺に10gzx (0) を掛 ける。 ←logzx=t とおくと 12-31-4=0 よって logzx=-1,4 これを解くと t=-1,4 したがって x=2-1,24 すなわち 16 これらは①を満たすから, 求める解である。 真数、底の条件を確認。 im (1) の式変形はすべて同値な関係を保ったまま行われているため、 真数条件の確認は 省略しても問題ない。

(2)の青線部分が分かりません。なぜこうなるか、図など含めて教えてください🙇‍♀️

例題 262 メネラウスの定理と面積比 △ABCの3辺BC, CA, AB をそれぞれ1:2に内分する点をL,M,Nと し, ALCN の交点を P, ALとBM の交点を Q, BM と CN の交点を とする。 次の三角形の面積を △ABCの面積Sを用いて表せ。 (2) APQR (1) ABCR ReAction 高さ (底辺) の等しい三角形の面積比は, 底辺 (高さ)の比とせよ 逆向きに考える 例題255 見方を変える (1) BCR から始めて, △ABC へ広げていくには, どの線分の比が必要だろうか? ABCRと 似た構図 直接求めるか? M (2) APQR △ABC- (△PQR以外の部分) と考えるか? R B L (1) C 思考プロセス 解 (1) AN:NB = 1:2であり, CM:MA = 1:2よりで変わることは、 CM: AC=1:3 (3) 22 M ① R よって, △ABM と直線 CN につ いて, メネラウスの定理により B △BCR → △BCM →△ABCと広げていく ために, BMBRをメネ ラウスの定理を用いて求 める。 AC MR BN = 1 CM RB NA 3 MR 2 RM =1より 1 RB 1 BR 16 2 TMB LQ AAA <P (6) C よって RM:BR = 1:6 ゆえに BM:BR = 7:6 例題 255 したがって 6 ABCR = ABCM= 6 . -△ABC 7 7 1/3AABC=2S ACM: AC=1:3 例題 255 (2)と同様に, △BCN と直線 AL, △CAL と直線 BM について, メネ ラウスの定理を用いると BA NP CL =1より AN PC LB 3 NP 2 =1 1 PC 1 △CAP=△ABQ= よって P 2 M S R B L LAPQR = AABC-(ABCR+ACAP + AABQ) =S-3・ S よって NP:PC = 1:6 CB LQAM " BLQA MC M3 LQ 2 1 QA1 =1より よって LQ:QA=1:6

247なぜわざわざ不等式立てる意味あるんですか？ 適当に数字当てはめればいいような‥ あとこの不等式どうやって作るんですか？

TEP A・B、発展問題 180 (3) × =22.5 ゆえに 22.5° 246 弧の長さを1面積をSとする。 180 (4) × π 1/2)=- 11004 =-105 ゆえに -105° 5 4, 250 4 180 360 (5) x2= 1 360 ゆえに (2) 1=12× 11 70 π π 245(1) 12/31/3+ 00\ 別解 面積 Sは公式S=1/2を用いて、次のよう 6 *=22, S= S=12 6 -*=132 = +2 に求めてもよい。 (1) S= よって、xの動径は第2象限にある。中 x 4' 8 (2)=-2* (2) S= =12×12×22=132 ア 247 60° よって, の動径は第1象限にある。 ■■■指 針■■■ (L) (2) 3 O ana 03 α, β が満たす不等式を立てて、2aa+βの 取りうる値の範囲を求める。 αの動径が第2象限にあり,βの動径が第3象限 にあるから O x A (2) =nia -=0205 とおける π 2 +2m² <a<x+2m² ...... ① π+2n<ß<+2nx incos (m, n) 7 (3) = +4л 6 よって, 6 πの動径は第3象限にある。 (4) 100>0800 0<0nia (I) -T= -4π 6 6 よって, 251 6 πの動径は第4象限にある。 an4ongi 80s (S) -960 > 256 31 O xx 6 0> 0<<< 8/2 (1) 1×2 から +4m² <2a<2+4m² よって, 2α の動径は、 第3象限または第4象限 にある。 (2) ①+② から 12/2x+2(m+n)<α+B<2/22(mm) すなわち 3 12/2π+2(m+mx<a+B<12/+2m+n+1) 2 よって, α+βの動径は、 第1象限または第4象 限にある。 248 半径1cm, 弧の長さ2cm であるから, 中心 2=1.0 角を0 ラジアンとすると ゆえに 02(ラジアン) また, 面積Sは S=- =1.12.2=1 (cm) 2 STEP 47 座標平面上で, x軸の正の部分を始線にとる。 角αの動径が第2象限にあり, 角βの動径が第3象限にあるとき, 次の角の動径は第何象限にあるか。 ただ し 2α, α+βの動径は、x軸上, y軸上にないものとする。 (1) 2a *(2) a+B

写真の問題わかる方教えてください

63 対数不等式 cを正の定数として、 不等式 xlogX ≧ cx2 ...... ① を考える。 xlogx≧x2 2 を底とする①の両辺の対数をとり, t=10g2x とおくと アイt-log2c0 t-log2c≧0 ･･････ ② となる。 (1) c=8 のとき, ① を満たすxの値の範囲を求めよう。 タイムリミット15分) ② から, t≦ [ウエ≧オである。さらに、真数の条件を考えると キ カ <x≦ ク ケ となる。 (2) ① が x> カ の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。 xx>カの範囲を動くとき, tのとりうる値の範囲は コ である。 本 SON の解答群 ス ある。 すなわち, 0 <c≦ Jei ⑩正の実数全体 ① 負の実数全体 ②実数全体 ③ 1 以外の実数全体 この範囲のに対して, ②がつねに成り立つための必要十分条件は、 10g2c≦サシ] で である。 +9=(エ p.99 6, 7

三角関数の問題です (１)のXYを表しているところで θ+3分のπ＝の後が何をしているのかわかりません。 また、Pの座標は〜と表すことができるから の後のOPcosθ＝4、OPsin………… の部分も何をどうしたらその答えが出るのかわからないので教えていただきたいです。 ... 続きを読む

例題 155点の回転移動 大阪の ★★★☆☆ π (1)点 P(4,2)を原点 0 を中心に だけ回転した点 Q の座標を求めよ。 3 (2)点A(8, 5)を点 B(6, 1) だけ回転した点 C の座標を求めよ。 (1) 見方を変える 一点P(4.2) 原点中心,回転 Q(x,y) (+1/5) x=rcos0+ YA 「Q(x,y) π 3 π x 座標 4=rcoso 3 y座標 2=rsin o y=rsin(04/05) 0+ P(4,2) 3 思考プロセス Action» 座標平面上の点の回転移動は、加法定理を用いよ x 解 (1) 点Qの座標を (x, y) とし, 直線 OP と x軸の正の向 きのなす角を0 とおくと, OQ=OP であるから YA x=OPcos(0+4/5)=1/2/OPcosd √3 OPsino ... ・① π 3 2 3 P(4,2) 0 3 y=OPsin(0+/4/5)=1/2OPsin0 +42 -OP cose 3 0 x ② ここで,点Pの座標は (OPcose, OPsin() と表すことが できるから OPcost = 4, OPsin0 = 2 ①,② に代入すると x=2-√3,y= 1 + 2√3 (x軸に平行 よって, 点Qの座標は Q(2-√3, 1+2/3

(1)がわかりません。解き方の概要を教えてください。

例題 234 を含む確率 n 1が書かれたカードが1枚, 2が書かれたカードが1枚, **** nが書かれ たカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。 この組から1枚 を抜き出しもとに戻す操作を3回行う。 抜き出したカードに書かれた数を a, b, c とするとき, 得点を次の規則 (i), (ii) にしたがって定める (1) a,b,c がすべて異なるとき,得点はa,b,cのうちの最大でも でもない値とする。 (abcのうちに重複しているものがあるとき、特点はその重複し また値とする。 1≦k≦n を満たすんに対して, 得点がんとなる確率を とする。 (1) (一橋大) 思考プロセス (ウ (2 kのとり得る値の範囲を考える で表せ。 (2) が最大となるkをnで表せ 具体的に考える 得点がんとなるのは? 規則(i) 2 k-1 k k+1 1枚 1枚 n 2 k-1 k+1| .... n k .... 規則(ii) 1枚 sks k≤k≤ k Action»nやんを含む確率は,その文字のとり得る値の範囲も考えよ (1) カードの抜き出し方は通りあり、これらは同様に 確からしい。 得点がんとなるのは次の3つの場合がある。) (ア) 規則 (i) で得点がんとなるとき kが書かれたカードを1枚, 口 Po -8 (+) んが書かれたカードを必 ず抜き出す。 1, 2,..., k-1が書かれたカードを1枚, +1 +2 •・・, nが書かれたカードを1枚 抜き出す場合である。(k=2,3,...,n-1 それぞれの値が, a, b, c のいずれかに対応するから, その場合の数は 3! 通りずつある。 よって,このようなカードの抜き出し方の総数は 11nk C1×3!= 6(k-1)(n-k) (通り) ( これは,k= 1, nのときも成り立つ。 (イ)規則 (ii)で2枚が重なり得点がんとなるとき んが書かれたカードを2枚, ん以外の数が書かれたカードを1枚 抜き出す場合である。 (k= 1, 2, ...,n) んが,a,b,c のいずれか2つに対応するから,その 426 場合の数は 3C2通りずつある。 抜き出し方は C1 通り。 抜き出し方は C 通り。 となることはな k=1n い。 =1n のときは 0通り となり,k=1,mとなる こと から成り立つ といえる。 抜き出し方は通り。

この問題の意味がわかりません。とくに⭐︎部分の計算の仕方が分からないので、教えてください。

なぜなのか ★★☆ 率 例題 第233 反復試行の確率の最大値から★★★☆ 6問の3択問題がある。 各問とも適当に解答するとき, 何問正解する確率 が最も大きくなるか。 232~235 思考プロセス 未知のものを文字でおく 6問のうちぇ問正解する確率をnの式で表す。. →pn= は式が複雑であるから, 関数とみて最大値を求めるのは難しい。 見方を変える nと+1の関係を調べる。 (ア) Dr<butt on1のとき く、 くい Dn+1 pn (nが大きくなると,も大きくなる) pn+1-p>0←差で考える > 1 ← 比で考える→ Dn+1 (nが大きくなると, pは小さくなる) →Þn+1−pn <0 の式の形から,差と比,どちらで考えるとよいか? とが ) Action n回起こる確率 PR の最大は, Pn+1 との大小を比べよ 1つの問題で正解する確率は である。 Pn 54 (D <1 pn 確率) であ pn+1 6! 25-n 1 3 26h 6 Ch. よって、6問のうちぇ問(nは0Sn≦6の整数)正解す る確率は W: 36-4 3h+6-h =36 反復試行の確率 n 26-n pn =6 3 C()() (3 n = 0,1,2,･･･, 5 において,n+1との比をとるとである。 r!(n-r)! 6! n!(6-n)! 26-n n! C 6 6! 26- pn (n+1)!(5-n)!」 36 n!(6-2 n)! 36 n!(6-n)! 25-n (n+1)!(5-n)! 26- 6-n 2(n+1) EXC (n+1)!= (n+1)xn! (6-n)!=(6-n)x(5-n)! いろいろな確率 (ア) Dn+1 6-n 1のとき ≥1 pn 2(n+1) 4 6-n≧2(n+1)より n≤ 3 Dn+1 よって, n=0,1のとき 2252 のは、 2(n+1)>0である。 >1より <butn=0 のとき かくか Dn 率) (イ) ■法 Dn+1 pn <1 のとき 6-n 2(n+1) <1 n=1のとき く 夏の 4 6-n<2(n+1)より n> 3 かのカー り出し、書かれて A 真 pn+1 よって, n=2,3,4,5 のとき, <1より n=2のとき 2>ps pn n=3のとき ps> pa n=4 のとき PA >Do 歌) Dn > Dn+1 (ア)(イ)より <<p>ps>pa>ps>D=5のときps > De 求 したがって,2問正解となる確率が最も大きい。 233 1個のさいころを10回投げるとき、1の目が何回出る確率が最も大きくなるか。 p.446 問題233 425 32