1枚目の問題は2枚目の⑵の問題と似たパターンだと思うのですが、場合分けの際の不等号がこの2枚間でなぜ違うのかが分かりません。 同じパターンと捉えないほうが良いのでしょうか?

数字 のとき,y=□ 1章 [摂南大] EX EX ③ 23 a≦- √x+6a とする。 yを簡単にすると x=d2+9 とし,y=√x-6a のとき,y= □≦a≦ のとき,y=オ[ となる。 a x=d2+9 をyに代入すると y=√2+9-6a-√2+9+6a =√(a-3)2-√(a+3)^=|a-3|-|a+3| [1] a≦3のとき a-3< 0, a+3≦0 y=-(a-3)-{-(a+3)}=^6 ←√A = |A| ←a-3=0, a +3= 0 を それぞれ解くと a=3, -3 よって, [1] ~ [3] のような場合 a-3≦0, a+3≧0 分けを行う。 なお, よって [2] 3≦a≦”3のとき よって [3] α≧3のとき y=-(a-3)-(a+3)=-2a a-3≧0, a+3> 0 よって y=(a-3)-(a+3)=-6 A={_A(4≧0のとき) |A| -A ( A < 0 のとき) [数と式]

波線のとこってどういうことですか？

礎問 141 3点が一直線上にある条件 AOAB の辺 OA, OB上に点C,D, OC:CA=1:2 OD:DB=2:1 となるようにとり, ADとBCの交点をEとす るとき 次の問いに答えよ. (1) AE:ED=s : (1-s) とおいて, OE を s, OA. OB で表せ (2) BE:EC=t (1-t) とおいて, OE を t, OA, OB で表せ. (3) OE OA, OB で表せ. 精講 ベクトルの問題では, 「点= 2直線の交点」 ととらえます。だから問 題文に「交点」という単語があれば,そこに着目して数式に表せばよ 00~+40- いのですが,このとき, 「3点が一直線上にある条件」 が使われます. <3点 A, B, C が一直線上にある条件〉 同じ立し 50+70- I. Aが始点のとき AC=AB II. A以外の点□が始点のとき □C=m□A+nB (ただし, m+n=1) 口のs (1-s), (2) のt: (1-t) のところは =(1-s) OA+sOB (2) OE-(1-t)OB+tOČ (3) = (1-1)OB+t(OA) -++-0A+(1-1)OB WOONE SH <3点 B, C, Eが直 線上にある条件 QA+0, OB 0, OAXOB (1)(2)より t 1-s = 1/1314-1- 3-35=t ..... ①, 4/23s=1-t......② ①×3+② より 3 0 2 1-1-s D E1 A B -OÉ を2通りに表し 比べる -ポイント 25:33 7 3s=1 6 S=7 8/17 になる 5-3-37 OE=OA+++OB OA0, OB=0, OAXOB だから」のところは, 「OA と OB は 1次独立だから」と書いてもかまいません。 (2) を使わずに(1) だけでも答えがだせます. OE=(1-s)OA+/3sOB=3(1-s)OC+'sOB 3点B, E, Cは一直線上にあるので 3(1-s)+/23s=1 6 とBCの交点をE」という文章を A, E, D は一直線上にある B, E, Cは一直線上にある かえて, II を利用していることになります. ,この手法では同じベクトルを2通りに表し,次の考え方を使います。 1,60,xのとき(このときは1次独立であるといいます) a+qb=p'a+q'b=p=p', q=q' 解答 ポイント 100,ax のとき 演習問題 141 pã+qb=p'ã+q'b⇒p=p', q=q' △ABCにおいて,辺AB を2:3に内分する点を D, AC 4:3に内分する点をEとし, 直線 BE と直線 CDの交点をP

赤で線を引いた所で、(n+1)(n+2)分のan+1がbn+1になる理由が分からないので教えてください🙇‍♀️

近畿大 ] 基本34 anの える。 例題 基本 la=2, an+1= an (1)n(n+1) ((2) an 39 an+1=f(n) an+g型の漸化式 n an+1によって定められる数列{a} がある。 -=bn とおくとき, bn+1 を bn とnの式で表せ。 をnの式で表せ。 4 an (1) bn= n(n+1)' bn+1= an+1 指針 (n+1) (n+2) で割る。 (n+1)(n+2) を利用するため, 漸化式の両辺を ・基本25 (2) (1) から bn+1=bn+f(n) [階差数列の形]。 まず, 数列{6} の一般項を求める。 n+2 (1) an+1= n 解答 an+1の両辺を (n+1) (n+2) で割ると an+1 (n+1)(n+2) 1 an n(n+1) + (n+1)(n+2) 2+1) (n+2)...(*) an -=bn とおくと n(n+1) bn+1=6n+ 1 (n+1)(n+2) (2)61= 1.2 bn=b₁+ =1+ a1 =1である。 (1) から, n≧2のとき 1 n-1 =1+ ◄an=n(n+1)bn, an+1=(n+1)(n+2)6n+1 を漸化式に代入してもよ い。 bn+1-bn 1 (n+1)(n+2) ◆部分分数に分解して,差 の形を作る。 1 k+2 n n+1 途中が消えて、最初と最 後だけが残る。 3n+1 k=1(k+1)(+2) =1+(1/2)+(赤) =1+ 3 1 = 2 n+1 2 n+12(n+1) ① b=1であるから, ① は n=1のときも成り立つ。よって an=n(n+1)bn=n(n+1)・ 3n+1 n(3n+1) = 2(n+1) 2 ①初項は特別扱い 上の例題で,おき換えの式が与えられていない場合の対処法 n+2 検討漸化式のαに が掛けられているから, 漸化式の両辺に×(nの式)をして n 【PLUS ONE f(n+1)an+1=f(n)an+g(n) [階差数列の形] に変形することを目指す。 (n+1)の式n の式 まず,漸化式の右辺にはnn+2があるが, 大きい方のn+2は左辺にあった方がよい あろうと考え、両辺を (n+2) で割ると D an+1 an A n+2 n n+2 2つの項 のうち, 左側の分母をf(n+1), 右側の分母をf(n) の形にするために, A 両辺を更に(n+1)で割ると、解答の(*) の式が導かれてうまくいく。

IMOの2017年の第2問の動画を見ていたのですが、画像のcase2の所でtf(x)=yと置換する時にf(x)が全射であることは示さなくて良いのでしょうか？yは実数全体を動く変数で、それに対応するにはf(x)が全射であると示さなくちゃいけないんじゃないですか？教えて欲しいです。

IMO 2017 ut P-2 Let TR Determine be the set of real no. all functions f: TR→ TR 7 for any x and y X YER Sol Fill f(f(x)f(41) + f(x+4) = f(xx) ① Plug, y=o ₤(f(x). f101) + f(x) = f(0) -① Case: 1 f10)=0 flo) + f(x) = f(0) =) f(x)=0 VXER. Case: 2 f(0) = = =ER/ {0} f(+ f(x)) + f(x) = + fltf(x)) = +- f(x). + f(x)= y. f(x)= 1/1.

(１)についてです。場合分けをするとかいてあるのですが、例えばこれが|x-2|=3の時は場合分けはしません。なんで3xの時は場合分けをしないといけないんですか？教えてください🙇‍♀️

基本 例題 41 絶対値を含む方程式 0000 73 次の方程式を解け。 項目 式の解法 (1)|x-2|=3x (2)|x-1|+|x-2|=x き) 指針 ) 141={_^ 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。それには、 A (A≧0 のとき) 1 -A ( 4 < 0 のとき) であることを用いる。このとき、 場合の分かれ目となるの は, A=0, すなわち,| |内の式 =0の値である。 (1)x2≧0と x-2<0, すなわち, (2) 2<0 *-2≥0 x2とx<2の場合に分ける。 -1<0-10 (2)2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの 値は,それぞれ12であるから,x<1, 1≦x<2,2≦x の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。 ⑥1次不等式 場合の分かれ目 (1) [1] x2 のとき, 方程式は x-2=3x 解答 これを解いて x=-1 ない。 x=-1 は x2 を満たさ [2] x<2のとき, 方程式は -(x-2)=3x 1 1 これを解いて x= 2 x= はx<2を満たす。 2 重要 場合分けにより,||を はずしてできる方程式の 解が、場合分けの条件を 満たすか満たさないかを 必ずチェックすること (解答の の部分)。 1 [1], [2] から, 求める解は x= 最後に解をまとめておく。 2 (2) [1] x<1のとき, 方程式は =(x-1)(x-2)=xx-1<0, x-2<0 → すなわち |-2x+3=x Ix -をつけて||をはず す。 これを解いて x=1 x=1はx<1を満たさない。 [2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x これを解いて x=1 [3] 2≦x のとき, 方程式は x-10, x-2<0 x=1は1≦x<2を満たす。 (x-1)+(x-2)=x |x-1>0, x-2≧0 すなわち 2x-3=x これを解いて x=3 x=3は2≦xを満たす。 以上から、 求める解は x=1,3 最後に解をまとめておく。 y=x-2|のグラフと方程式 yy=3x (1)について y=x-2|は,x≧2のとき y=x-2, y=|x-2| 検討 PLUS ONE 4T であるから, y=|x-2|のグラフは右の図の① (折れ線) であ る(p.118 参照)。 折れ線y=|x-2| と直線 y=3x は,x 座標 がx=-1の点で共有点をもたないから, x = -1が方程式 |x-2|=3xの解でないことがわかる。 x<2のとき y=(x-2) 30 2 10 2 112

漸化式の問題です。どうしてこの2つの漸化式が成り立つのかわからないです。そもそもanが何の数列を指しているのかもわかりません。この２つの漸化式が立てられたら後はわかるので大丈夫です。どうかわかりやすくお願いします。

478 ONESA 重要 例題 43 隣接3項間の漸化式 (3) X 00000 n段(n は自然数)ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,この階段の がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。 基本41 指針 数列{a} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のときn段に達する 直前の動 作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法 [2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法 の2つの方法がある。 このように考えて、まず隣接3項間の漸化式を導く。 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが,ここでは 特性方程式の解α,βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらくに扱う ためには,文字α βのままできるだけ進めて、 最後に値に直すとよい。 |n=2 a=1, a2=2である。 解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の 場合がある。 2段 an通り [1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく [2] 最後が2段上がりのとき、 場合の数は (n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく an通り [1] 最後に1段上がる n FX | (n-1) 段 よって 参考 フィボナ ある月 新たに まれた ろうか 月末の 1. となり 漸化式 a= この {az} かる ①で 題 4 [2] 最後に2段上がる ここまで an-1 通り an=an-1+an-2(n≧3) (-2) 段 (*) n段 (n-1) 段 ここまで an-2 通り an= 17 ない 和の法則 (数学A) ... この漸化式は,αn+2=an+1+an (n≧1) ･･･ ①と同値である。 x2=x+1の2つの解をα,β(a<β) とすると, 解と係数の 関係から ①から a+β=1, aß=-1 an+2-(a+β)an+1+αßan=0 よって an+2-aan+1=β(an+1-aan), a2-aa=2-α an+2-Ban+1= a(an+1-Ban), az-βa1=2-β ...... (*)でn→n+2 特性方程式 x2-x-1=0の解は x= 1±√5 2 a=1, a2=2 ...... (2 (3 ②から an+1-aan=(2-α)β7-1 ③から ...... (4) <arn-1 an+1-Ban=(2-β)α7-1 (5) ④ ⑤ から (Ba)an=(2-α)β-1-(2-β) an-1 ⑥ an+1を消去。 1-√5 1+√√5 a= B= 2 , 2 であるからβ-α=√5 また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1であるから 2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして よって, ⑥から 1+√5 \n+1 an= 2 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 a1= a2=1, an+2=an+1+3an α, β を値に直す。 2-α, 2-βについて は,α, β の値を直接 代入してもよいが,こ こでは計算を工夫し ている。 [類 北海道大] 2-B=a² 1-√√5 練習 ④ 43 な

赤線のところの計算を教えて欲しいです

45+60)-75° -105, C-30° #20 -75% C-60 によってCを求めることもで sinc EN 管 < 13 254 基本例 例題 155 三角形の解法 (2) TE 1 A EX 社 SMLS MLSM A 20 VA 練習・練習 EX △ABCにおいて, a=√2,6=2, A=30° のとき, c, B, Cを求めよ。 れた場合,三角形が1通りに定まらないことがある。 000 指針 基本例題 154 と同様に,三角形の辺と角が与えられているが, 2辺と1対角が 基本 まず,余弦定理でcについての方程式を立てる。 その際,cの値が2つ得られる それぞれについて B, C を求める。 正弦定理を用いた [別解については,右ページの検討を参照。 余弦定理により 解答 (√2)=22+c2-22ccos 30° よって c2-2√3c+2=0 余弦定理により ■Aが与えられてい COSAを含 理 理の式を用いる。 これを解いて c= √3 ±1 どちらもc> [1]c=√3+1のとき ccの値が2つ得ら OMORSES [S] C&J 2 ら,得られたこの ° ぞれについて、 A C B 値を求める 。 = COS B =(√3+1)+(2)_230 2(√3+1)√2 2(√3+1) 1 2√2 (√3+1) √2 (√3+1)=√2 ゆえに B=45° よって C=180°-(30°+45°)=105°08=3+8+A+B+C=180° [2]c=√3-1のとき 余弦定理により COS B (√3-1)+(√2-22 2(√3-1)√2 -2(√3-1) = 2√2 (√3-1) ゆえに B=135° 2 30% √√2 Ac B 検討 PLUS ONE

解説お願いします🔎

Plus One 124 AB=AC, BC=10 を満たす二等辺三角形ABC の内心を I, 内接円の半径 を 5 とする。 (1) 線分 BI の長さを求めよ。 (2) 点PをBP=BI, IP=2√5 を満たすようにとる。 cos ∠IBPの値を求めよ。 (3) 辺AB の長さを求めよ。 [12 大同大] 10 三角比と図形 (1) 23

黄色く塗られているところで、x+y、xyの値がそれぞれ条件式として出たのでそれを利用してx,yを解とするsの二次方程式が立てられる というところまでは理解出来たのですが、どうすれば ⋯①の式が出せるのかよく分かりませんでした💦

8 [P188] x^2-xy+y^2=1から2x+3xy+2yの最大、最小など [キートレーニングIIIABC Plus One88] x, y を実数とし, x2-xy+y2 =1 を満たすとする。 t=x+y とおくとき,次の問いに答 えよ。 (1)xy を を用いて表せ。 (2)tの値の範囲を求めよ。 (3) 2x+3xy+2y の最大値および最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。 解答 (1) xy= 12-1 (2) −2≦t≦2 (解説) 3 (3)(x,y)=(1, 1) で最大値 7, (x,y)=(0, -1, -1, 0) で最小値 -2 (1)x2-xy+y2=1 より t=x+y とおくと (x+y)2-3xy=1 t2-3xy=1 t2-1 よって xy=- 3 t2-1 (2) x+y=t, xy= であるから,解と係数の関係により,x,yはsの2次方程式 t2-1 s2-ts+ =0 ・・・・・・ .. ① の解である。 3 このsの2次方程式 ① が実数解をもつときのtの値の範囲を求めればよい。 ①の判別式をDとすると D= ( − 1)² - 4.1. 1² - 1 = − 1 ½ 1²+ 1/1/1 4 t'+ ①が実数解をもつのは D≧0 のときであるから これを解くと -2≤1≤2 3 3 3 1312+1/320 t2-1 (3) 2x+3xy+2y について, x+y=t, xy= とおくと 3 2x+3xy+2y=2(x+y)+3xy=2t+3. ②より,2x+3xy+2yはt=2で最大値 7, t = -1 で最小値-2をとる。 t=2のとき, ① は t2-1 ·=t²+2t−1=(t+1)² −2 3 s2-2s+1=0 これを解くと s=1 すなわち (x,y)=(1,1) t=-1のとき, ① は s2+s=0

287番の問題についてです。 someの対比として、othersが使われるのは理解できたのですが、この文では賛成したor賛成してない、の二択なので、the others（選択肢にはないですが…）でも良い気がするのですが、どう思いますか？ もし選択肢にあったらどっちを選んでも... 続きを読む

haisance province 36 問題演習 1 STEP それぞれの空所に入る最も適切なものを 選択肢から1つ選びなさい。 285 I have two brothers. One is a fireman and ( ) is a police officer. 000 1 others ② any ③ the other ④ another SENE 185 ③残りの1人は... 兄弟が「2人」とあり、1人目はOne なので、 「残りの1人」は誰だか特 認識できるため、③ the other を使います。 286 This photograph of my friend is not very good. Let me show you 000 訳 僕には2人兄弟がいる。1人は消防士でもう一人は警察官だ。 ( 神戸学院大学) 286 (2) ( ) one. 1 about ③ simple ② another ④good 「もう一つ」を表すには? 何枚かある写真のうちの)もう1枚を見せてあげる」 というこ another を選びます。 「たくさんある中の1つ」 は、anを another = "an + other" でしたね。 この「もう1つ追加」とい another は入試頻出です。 和訳私の友達のこの写真はあまりよくない。もう1枚のを見せてあ (中京大学) 287 000 Some board members agreed with the president's proposal but ( ) 287 (3 didn't. ① another ③ others ② other ④ the other If you need an English dictionary, I will lend you ( 288 000 (1) some )this -89 Thought a cookbo (愛知学院大学) 2 one ④any (拓殖大学) the other と others の区別 文頭Some board members agreed 「賛成した役員もいる」 しなかった役員もいる」 には ③ others を使います。 ④ the ot 1人が賛成しなかった」 と断定してしまうことになります。 成でも反対でもない人」がいることを考えないといけないの 和訳社長の提案に賛成した役員もいたが、そうでない役員もいた 288 「同種類」を表すには? 空所にはan English dictionary という「不特定」の名詞を受 ります。 この[不特定」の感覚は「同種類」とも言えます。「同 というときに② one を使うのです。 和訳もし英語の辞書がいるなら、貸してあげるよ。 it one の区別 です。 ここでは、決し そのcookbo