合成関数の微分の痕跡とはどういうことでしょうか🙇🏻‍♀️

226 第6章 積分法 練習問題 9 次の不定積分を,置換積分によって計算せよ. (1) 2x (x²+1)³dx (2) sin³rcos.xdx (3) 21 dx e2x e2x+1 IC (4) dx 精講 (1)~(3)は,すでに練習問題8で行ったものですが、あらためて「置 換積分」という手法に則って行ってみましょう.「かたまり」と見 た部分をtと置換することでうまくいきます。 解答 (1) t=x2+1 とおくと, dt =2x すなわち xdx= dx -dt 与式=f2(x+1)xdz=f24812d=Stat 置換! 2t5. = — — t°+C==(x+1)+C 6 (2) t=sinx とおくと dt dx -=COSx すなわち cosxdx=dt 与式 = sin' rcos.rdz=ffdt =Stat = r²+c t+C 1 置換! sinx+C 4 (3)t=e2+1 とおくと dt =2e2z すなわち @ardx=12 dx e² dx = Sdt = 2.x 1 2 与式=faut+1 2x 置換! = 2 -dt -log|t|+C .log(e^x+1) +C

(4)と(5)がわからないです💦 よろしくお願いいたします！

するとも いミスをい にしておき 1/2 基本 例題 52 2次関数の係数の符号とグラフ 2次関数y=ax2+bx+c のグラフが右の図で与えら れているとき,次の値の符号を調べよ。 (1) a b2-4ac (2) (3)c (5)a-b+c at-c CHART & THINKING x 91 基本事項 4. 基本 51 97 場合の 中の グラフから情報を読み取る 式の値は直接求めることができない。 「上に凸か,下に凸か」, 「軸や頂点の位置」. 軸との交点の位置」 などに着目して, 式の値の符号を調べよう。 上に凸か, y 頂点のy座標は? 下に凸か? 3章 x=-1 における 10 座標は? 1 x 7 軸との交点の 位置は ? 軸の 位置は ? 解答 関数とグラフ ax2+bx+c=ax+ x+c=a(x = a(x + 2 a)² 6 \2 62-4ac ←ax2+bx+c 2a 4a b よって, 放物線y=ax2+bx+c の軸は 直線 x=- 2a' = a(x²+10x)+c b2-4ac 頂点の座標は 4a る。 また, x=-1 のとき (1) グラフは上に凸の放物線であるから =ax+ y=a(-1)2+6(-1)+c=a-b+c=d(x+ a<0 2a 6\2 2a -a b 2a b2-4ac y軸との交点のy座標はcであ=d{(x+/2/2)-(12)+ +c =a(x- +c b (2) 軸が x<0 の部分にあるから <0 ← ->0 b 2 2a b 2a 4a 2a (1)より, a<0 であるから (3) グラフがy軸の負の部分と交わるから (4) 頂点のy座標が正であるから b<0 c<0 b2-4ac >0 4a 放物線y=ax2+bx+c について, (1)より, α<0 であるから -(b2-4ac)<0 すなわち b2-4ac > 0 軸と異なる2点で交 わる⇔b-4ac >0 が成り立つ (p.139 以降 (5)a-b+c は, x=-1におけるyの値である。 グラフから,x=-1 のとき すなわち a-b+c>0 y>0 を参照)。 1

Focus gold 例題89 なぜこの解き方が間違っているのかがわかりません

4 第3章 図形と方程式 Think 立 **** 例題 89 弦の長さ(1) 直線 y=2x+2...... ① が円 x + y' =8...... ② によって切り取られて 解答 円 ②の中心 (0,0) と直線①の距離は, |2| |2| 2 できる弦の長さを求めよ. 考え方 図に描いて考える 円の中心と弦の距離を求めて、三平方の定理を利用する y=2x+2 より 2x-y+2=0 =- √2+(-1)^√55 2√2 2√2 求める弦の長さを2ℓ とすると,円の 2√2 2ℓ とおくのがポイ ント 半径が22より X e+(1/5)=(2/2) 36 e2. 5 6√5 I+ l>0より, l=- 5 12/5 よって、弦の長さ2ℓ は, 5 (別解) ①を②に代入して, x2+(2x+2)2=8 (B, 2B+2) 5x2+8x-4=0 .....③ また,円 ②と直線 ①の交点の座 標を(α, 2α+2) (22) とす x ると,α βは2次方程式 ③ (a,2a+2) の2つの解だから,解と係数の関係より、 8=2√√2 ) 2 三平方の定理 求める長さは2ℓで あることを忘れずに 解と係数の関係を利 使用する解法 2.85% ax2+bx+c=0 の 2つの解をα βと 8 +B=- aß= 求める弦の長さを l とすると, l°=(β-a)'+{(2β+2)-(2x+2)}=5(β-α) 2 =5{(x+B-4aB)=5{(-2)-4(-1)}=141 すると b a+β=- aß= a a 三平方の定理 よって, l>0より,弦の長さは, 12/5 5+(1-8) Focus 弦の長さの問題は,円の中心から弦に垂線を引き、 三平方の定理を利用する l²+d²=r² >m> Think

Aの座標が3a,3bなのはどうしてですか？

116 基本 例題 67 座標を利用した証明 (1) △ABCの重心をGとするとき, AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB +GC)が 成り立つことを証明せよ。 CHART & THINKING y 基本 例題 68 p.112 基本事項 31 51 座標を利用した証明 座標を利用すると、 図形の性質が簡単に証明できる 場合がある。 そのとき、 座標軸をどこにとるか, 与 えられた図形を座標を用いてどう表すかがポイン トとなる。 そこで, あとの計算がスムーズになるよ うに、座標軸を定める ② 変数を少なく A(x1, y₁) B(x2,y2) (x+y+xy+x+a) C(x3,y2) 0 ↓辺BC をx軸上に。 y ★3点A(5,1 Dの座標を求 CHART & 「平行四辺形】 頂点の順序が いことに注意。 形のパターン Dの座標を求 2本の A(x1,y) ( 1 0 を多く くるように0 が多くなるようにとる。 1 問題に出てくる点がなるべく多く座標軸上に O B(x2, 0) C(x3, 0) を利用すると もっとよい方法は? 2つの頂点を原点に関して対称にとる 解答 残りの頂点 — 変数の文字を少なくする。 これらをもとに, 点 A, B, C の座標を文字でどう表すかを考えよう。 直線 BC をx軸に,辺BCの垂直 理由? ←10を多く 二等分線をy軸にとると, 線分三二a,36) BCの中点は原点0になる。 A(3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0) ← ② 変数を少なく G(33 平行四辺形 [1] [1] 平 線分 D したが [2]平 線分 G(a,b) とすると, Gは重心であるから, 01 A(a, b) とすると, b B C となり計算が G(a, b) と表すことができる。 このとき AB2+BC2+ CA2 ={(-c-3a)+(-3b)2}+{c-(-c)}+{(3a-c)2+(36)2} =3(6a2+662+2c2) ・① (-c, 0) O (c,0) x 少し煩雑。 した 両辺を別々に計算して 比較する。 [3] = 線分 GA2+GB2+GC2 ={(3a-a)2+(3b-b)2}+{(-c-a)+(-b)2} +{(c-a)+(-b)2} =6α²+6b2+2c2 ①② から AB2+BC2+CA=3(GA2+GB2+GC2) 注意 更に都合がよくなる ようにと, A(0,36)など とおいてはいけない。この 場合, Aはy軸 (辺BCO 垂直二等分線) 上の点に 定されてしまう。 以上 PRACTICE 67° (1) ∠ABCの辺BCの中点をMとするとき, AB'+AC'=2(AM'+BM)(中線定理) が成り立つことを証明せよ。 (2)△ABCにおいて, 辺BC を 3:2 に内分する点をDとする。このとき, 3(2AB2+3AC2)=5(3AD2+2BD) が成り立つことを証明せよ。 P

この問題なんですが Pを x、Y、0遠いて計算して 出すというのでは答えが違うのはなぜなんですか？ 字が汚くてすみません。

-118 Think (686) 第11章 空間のベクトル 例題 C1.60 空間における交点の座標(2) **** 2点A(5, 0, 9), B(1, 4, 3) と xy 平面上を動く点Pに対して, AP+PB の最小値と,そのときの点Pの座標を求めよ. 同じ側 ABS ・平面 考え方 2点A, B が xy 平面に関して反対側 にある場合, AP + PB が最小となる のは, 3点AP Bが一直線上にあ る場合である。 同じ側にある場合は, xy 平面に関してBと対称な点B' をと ればよい 反対側 AS P xy 平面 ・B B' 直線の方程式をベクトル方程式で考えて, 媒介変数表示する。 Abs 2点A, B を通る直線のベクトル方程式は OP=OA+tAB である=10 解答 2点A, B は xy 平面に関して同じ側にある. xy 平面に関して点Bと対称な点をNHAT もに正なので, B'(1, 4, -3) とおくと, PB=PB' より, AP + PBが最小となるのは, 3点A,P, B' が一直線上にあるときである. AB' = (-4,4,-12) より, OP=OA + tAB' =(5,0,9)+t(-4,4,12)x =(5-4t, 4t, 9-12t) A,Bの座標がと xy 平面に関して同じ側 にあるとわかる. 直線 AB'′ と xy 平面 15 P B' y の交点が求める点P である. 9 したがって、点Pの座標は, (5-4t, 4t, 9-12t) ・① 013+8 点Pはxy平面上の点より 座標は0だから, 9-12t=0 t=- 3 このとき,P(230) 2-)-A2AO HO (S) 50-RO-1 よって,P(2,30) のとき,AP+PBは最小となり AP+PB=AB、 =√√(-4)'+4°+(-12) =4/11 (3 tを①に代入する. Focus 直線のベクトル方程式 OP = OA+tAB =OA+t(OB-OA) =(1-t)OA+tOB 10-010

この別解の3行目までがよく分かりません。 どうしてaベクトルとｂベクトルがそれぞれ垂直になる時最小になるのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

Think 例題 ルの成分と内積 (663) C1-95 =(1,1,1), 6=(-1, 1, 2), C (2,1,3) とするとき C1.49 空間のベクトルの大きさの調 xa+yb+clの最小値と,そのときの実数x, yの値を求めよ. 考え方 xa 解答 AC +y+さにの成分を代入してすりの式で表す。 xa+yb+clを計算して x, y について平方完成する。 x+yb+c=x(1,1,1)+y(-1, 1, 2)+(2,-1,3) =(x-y+2,x+y-1, x+2y+3) xa+yb+cl2=(x-y+2)+(x+y -1)+(x+2y+3) 2y+42_ **** =3x²+(4y+8)x + 6y2+6y +14) =3(x+2x+4)+ 14y² +2y+26 3 =3x+ 2y+4\2 3 + + 14 14 (x+2x+4) 20. (+14) 2019. xa+ 6+2 121 xa+b+c≥0. 20よりx+y+=121 まず,xの2次関数 とみて平方完成する. この式について平 方完成する. 14 (実数)20 140 +3 xa +6 +11/14 等号が成り立つのは、x=- 9 y=- のときである。 14 2y+4 x+- -=0 かつ よって、 x=. 9 7' y=- 1 14 そのとき,最小値 11/14 14 第11章 (別解) C(2,-1,3)を通り, a, b の作る平面α を考える. |xa+yb+c | が最小となるのは,xa+yb+c が平面α つまり,a, それぞれと垂直になるとき,すなわち, a.(xa+yb+c)=0 b (xa+yb+c)=0 0=0のときである. 01|a|=√√3|6|=√6, a b=2, bc=3, ca=4 a(xa+y+c)=xlal+ya・b+ca=3x+2y+4=0 6.(x+y+c)=xa6+y/62+6・c=2x+6y + 3 = 0 これを解くと, x=- 91 1 = 14 y+ 1 3 140 p=xa+yb+c すると,P(D)は平 面α上の点である. a、 H3 C xa+yb+c 0 2 xx x= 97 1 y=- 14 9- 714 + b + c = 1 したがって、1-20-12462= x+y+c=(x-y+2, x+y-1, x+2y+3)だから のとき, ①を代入して 0 doxton 9- x+y+cは最小 11 33 11 11/14 D 14 よって, = x=- 9 7' 11/14 y= == 練習 1 のとき、 最小値 14 (1.1.1).6(142) = 36.6) とするとき x+y+cの 01.49 最小値を与える実数xyとそのときの最小値を求めよ。 *** (九州大) ➡p.C1-101 12

①+②+③する理由がわかりません。解説お願いします 数②

の (C-1)2=0 FI2D) = α²-2a+1 + 12 58 第1章 式と計算 Think 例題 26 比例式の値 の **** 2(y+z)_2(z+x)_2(x+y) を満たすとき,この式の値 x,y,zが x を求めよ. ydz (駒澤大) 考え方 比例式は、｢k｣ とおく.2(y+z)=kx, 2(z+x)=ky. 2(x+y=kz からkの値を 求めればよい.また,x= 0, y = 0, 0 である. 2(y+z)_2(z+x)_2(x+y) 解答 = -=kとおくと. x y Z 2(y+z)=kx ① 2(z+x)=ky 2 2(x+y)=kz ......③ 3 (b+5)=(d また, x=0, y=0, z=0 である. ①+②+③より, 4(x+y+z)=k(x+y+z) だから, 4(x+y+z)_k(x+y+z)=0 まで (x+y+z) (4-k)=0 (i) x+y+z=0 のとき, したがって, x+y+z=0 または 4-k=0 y+z=-x これを① に代入して, -2x=kx x=0 より k=-2 (ii) 4-k=0のとき, k=4 (分母) 0 各辺の辺々を加える. 移項して整理する. x+y+zで両辺を 割ってはいけないこ とに注意 この段階では +p) 大治 の可能性がある.) x+y+z=0 このとき ① ② ③を解くと, x=y=z これは, x=0, y=0, z=0を満たすすべてのx,y, zについて成り立つ. よって, (i), (ii)より, 求める値は, -2, 4

この問題の（1）の解説の、√2/√3a²がどうやって√6/3aになったのかがわかりません、、教えてください🙇‍♀️

を 141 基本 例題 138 正四面体の高さと体積 1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。 (この正四面体の高さをαの式で表せ。 (2)この正四面体の体積をαの式で表せ。 CHART & THINKING 空間図形の問題 平面図形 (三角形) を取り出す 0000023 基本137. 重要 139 (1) 頂点Aから底面 BCD に垂線 AH を下ろすと,AH が正四面体の高さとなる。AHを 求めるために、どの三角形を取り出せばよいだろうか? AB=ACAD であることに, まず注目しよう。更に,点HはBCDのどのような位置にあるかを考えよう。 (2) 四面体の体積の公式において, (1) で求めた「高さ」に加えて何を求めればよいかを判断 しよう。 解答 (1) 正四面体の頂点Aから底面 △BCD に垂線AH を下ろすと, AB=AC=AD であるから △ABH=△ACH=△ADH よって BH=CH=DH D B ゆえに、点Hは BCD の外接円の 中心で,外接円の半径はBH である。 よって, BCD において, 正弦定理により 1 a a BH= = 2 sin 60° 3 したがって AH=√AB2-BH= = a². 2 a a A (1) AABH, AACH, △ADH は,斜辺の長さ がαの直角三角形でAH は共通辺である。 直角三角形において, 斜 辺と他の1辺が等しいな らば互いに合同である。 CD sin DBC -=2R CD=α, <DBC=60° △ABHに三平方の定理 を適用。 4章 15 三角形の面積、空間図形への応用 2 √6 = 3 3 a ? B a H (2) BCD の面積は a.a sin 60°- よって、 正四面体 ABCDの体積は √3 = a² 4 4 1/13 = ABCD AH-1√361 /2 a= 3 3 4 12 RACTICE 1383 ABCD の面積 -BD・BCsin∠DBC (四面体の体積 ) =113×(底面積)×(高さ)

(2)についてです。 回答には相加相乗平均が用いられていますが、相加相乗平均でわかるのはtの取りうる値が2以上に限定されることであって、tが2以上のすべての実数をとりうるかどうかはわからないのと思います。そのため、(2)の回答に用いることはできないと私は考えたのですが、どう... 続きを読む

316 第5章 指数関数と対数関数 Think 例題160 指数関数の最大・最小 (2) **** 関数 y=(4*+4¯*)-2a (2'+2) +1 について、 次の問いに答えよ. Q(1)2+2=t とおいて,yをtの関数で表せ. (2)のとり得る値の範囲を求めよ. ○(3)yの最小値が10のとき αの値を求めよ. 考え方 (1) = (2')', 4'=(2x)より, a+b= (a+b)-2ab を利用して変形する. (2) 相加平均相乗平均の関係を利用する。」 (3)(1)(2)より与えられた関数は, tについての2次関数になって いる. との関係 (a>0, x:実数) axXa=1 (相加平均) ≧ (相乗平均) a+bzab (a>06>0 のとき) 2 解合 (1) 2'+2x=t のとき, 4'+4¯*= (2*)+(2^*)2 =(2'+2x)2-2.2.2 =f-2 より y=f-2-2at+1=t-2at-1 (2)20,20 より 相加平均・相乗平均の関係 から、 2*+2*2/2.2* =2 等号は, 2*2*より、x=-xつまり、x=0 の とき成り立つ. よって, tの値の範囲は, (3) (1)より, (i) a <2 のとき a+b2=(a+b)2-2. 2.2=1 相加平均・相乗平均の 関係を利用する. a+b 2 -√ab より,a+b2ab 軸は直線t=α より 軸と区間 t≧2 の位 関係から場合分けを る. (i) (i) のときのグラ は下の図のように t≧2 y=f-2at-1=(t-α)-α-1 ...... ① t=2 のとき, yは最小値10 をとる. 13 2-2a・2-1=-10 より a= 4 これは, a<2を満たさない. (ii) α≧2 のとき (i) t=α のとき,y は最小値10 をとる. したがって, ① より - a²-1=-10 2=9 より, a=±3 1 a 2 a≧2より, a=3 よって, (i), (ii)より 求めるαの値は, a=3 a 最小 練習 [160] xは実数とする。このとき、関数y=- 10 (3*+3)-(9+9)-3 3 *** そのときのxの値を求めよ. "最小 の最 (高島

この赤枠のところがしっくり来なくて、、教えて欲しいです、、-1/2が120°で-1が180°？なのはわかったのですが、それからがよくわからなくて、教えて欲しいです、、

補充 例題 三角方程式・不等式 180°とき,次の方程式・不等式を解け。 (1) 2cos20+5sin0=4 CHART & THINKING 0812029 2sin2+3cos0 <0 基本 112, 補充 117 三角比で表された2次の方程式・不等式 1つの三角比で表す かくれた条件 sin20+cos20=1 を利用して, sin0 または cos0 いずれか1種類の三角比の 方程式・不等式に直して解く。 (1) coseがあるから, sin20+cos20=1 を cos'01-sin' と変形して代入すると sind だけの式になる。ここで sind=t とおくとについての2次方程式に帰着できる。そ の際, tの変域に注意しよう。 (2)と同様に考える。 sin20+cos'0=1 をどのように利用すればよいだろうか? 解答 (1) sin+cos20=1より, cos'0=1-sin' であるから 2(1-sin'0)+5sin0=4 sinの2次方程式。 整理して 2 sin20-5 sin0+2=0 sin0=t とおくと,0°0≦180°から このとき, 与えられた方程式は 0≤t≤1 ①0°M180°のとき 2t2-5t+2=0 0≤sine≤1 24 0812 (2t-1)(t-2)=0 これを解くと t= ① を満たすのは t= すなわち sin0= 2 150° 1 1 2 よって、 求める解は 0=30° 150° (2)in+cos20=1より, sin20=1-cos'0 であるから 2 (1-cos20)+3cos0 <0 整理して 2 cos20-3 cos 0-2>0 cosa=t とおくと,0°≦180°から 1x COSの2次不等式。 -1≤t≤1 ・20°M180°のとき このとき,与えられた不等式は 2t2-3t-2>0 -1≤cos 0≤1 (2t+1)(t-2)>0 これを解くと t<-12<t 34 ② との共通範囲を求めると小8-0 -1≤t< 2 すなわち -1≦cos<12/ よって、求める解は 120°0180° P 1 120° -1 0 1x 12