90 三角形の3本の中線は1点で交わることを証明せよ。
三角形の3つの頂点を A, B, C とする。
直線BC をx軸, 辺BCの中点を原点にとる。
A(a, b), B(-c, 0),C(c, 0) (c>0)
とし, AB, AC の中点をそれぞれM, Nとす
ると,それらの座標は
座標に0が多く含まれる
YA
A(a, b)
ように点をとる。
M
N
b
M(a-c, 2), (a+c, b)
2
B
AC
(-c, 0)
O
(c, 0)
x
2
2直線BN, OA の方程式は,それぞれ
b
a+c -(−c)}
c)}(1-0)=(1-0){x-(-c)} …①
2
(a-0)y=(6-0x ... ②
①,②を連立させて解くと x=
63
1
a
b
3
a
b
すなわち, ①,②の交点の座標は
12点 (x1, V1) と
(x2,y2) を通る直線は
(x2-x1)(y-y1)
=(y2-y1)(x-x1)
例題 77 Point 参照。
①は整理すると
(a+3c)y=bx+bc
②より bx
=
ay を代入
3 3
する。
直線 CM の方程式は
a-c
2° - c) (v - 0)
c) (1-1)=(1/10)(x-c)
b
整理すると a-3C y = box-bc
-
2
2
2
この直線は2直線 ①,②の交点(
a b
)を通るから, 3 直線 BN, OA,
a
b
x=
y =
3
3
3
3
1/8 を代入
CMは1点で交わる。
すると, 両辺の値はとも
ゆえに、三角形の3つの中線は1点で交わる。
ab-3bc
に
となる。
6
占を希
