(2)(3)の解説お願いします。 (2)の-1しているのが分かりません。

106*3個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の確率を求めよ。 (1) 出る目の最小値が3以上である。 1/1,2 x 3,4,5,60 7343 648 27 216 A 27 81 2 出る目の最小値が3以上 5以下である。 出る目の最小値が3以下 川のうち最小値が5以下に 3個の目がすべて3以上のときなるのは3個の目がすべて6の 43通り 4/3 27 とき以外 43-1 (3,4,5) 7 4²-1 = 2136 = 24 63 (3) 出る目の最小値が3である。 3.3.3

問9の解き方と答えを教えてください😿

例題-4 △OAB に対して OP = sOA + tOB とおく。 実数 s, tが s≧0, t≧0, ベクトル方程式の応用 1 ① 1 中点で求まる s+t= 2 2 を満たしながら変化するとき, 点Pの存在する範囲を求めよ。 |視点 点Pが線分AB上にある条件をもとに考えることができるだろうか。 解 ②より, 2s + 2t=1 が成り立つ。 2s=m, 2t=n 10 とおくと 15 ①より m≧0,n≧0,m+n=1 すなわち OA OP =m OP= "OA + "OB OB HOMO MI +n ここで 20+MOm=0 OA OM 2 OB ON 2 AO 一章 2節 ベクトルの応用 B である点 M, N をとると, M, Nはそれぞれ辺 OA, OBの中点であり OP = mOM+nON, m≧0,n≧0,m+n=1 20 となるから、点Pの存在する範囲は,辺OA, OBの中点M, N を両端 とする線分 MN である。 p.47 Training17 問9 例題4で,s≧0, t≧0,s+t=2のとき, 点Pの存在する範囲を求めよ。

点の存在範囲のグラフの見方がよくわかりません。

252 よって、条件を満たす点Pの集合は,原点Oを中心とする半径1の円周 とその内部, すなわち, 線分 BC を直径とする円周とその内部である。 B であるから, 3s+t≦3 を満たす点Pの存在範囲は,下図の網目部分. 143 ベクトルと領域 【解答】 1/2=1とし,OB'=30B となる点をとると, ここで, OP=sOA+tOB =SOA+(30B) =sOA+t'OB 3s+t≦3s+t'≦18 95 APR AO 0 A ポイントは人 上にある よって、 OP = sOA + tOB で,s, tが、 3s+t≦3, st≧1, s≧0 を満たしながら動くとき,点Pの存在範囲D は, 下図の網目部分である. B' (2) B D ① 12120 12120 OR A よって, Dの面積Sは, B. S=2△OAB BAO ||=2--|OA|2|OB|2-(OA・OB)2 2 0 BOAD ST 内にム =√9.16-64 AND よって、 =4√5. RS-OS-OR また, [解説 OP=sOA+tOB において,s+t≧1 を満たす点Pの存在範囲および s≧0 を満たす点Pの存在 範囲は,それぞれ次図の網目部分になる. O, A, B を同一直線上にない3点とする. において,実数 s,tが次のそれぞれの条件を満たしながら変化する が描く図形は,以下のようになる. TOP SOA+tOB (2) s≧1 (1) s≧0 B 0 A RP- B 0 A

この赤線部の式がどこからきたのかと、青線部でそれぞれの分散を足してる理由がわからないので教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

5章 21 し,標準偏 らばりの 基本事項 は 計算 きいことの 基本 例題 ･･2つのデータを合わせる ある集団はAとBの2つのグループで構成さ 20 グループ 個数 平均値 分散 A 16 24 B 60 12 28 れている。 データを集計したところ,それぞれ のグループの個数, 平均値, 分散は右の表のよ うになった。このとき, 集団全体の平均値と分散を求めよ。 指針 データ X1,X2, ·····, Xの平均値を x, 分散をs.2 とすると, (A) 8x=x-() [立命館大 ] 基本 177 が成り立つ。 公式を利用して,まず, それぞれのデータの2乗の総和を求め、 再度 公式 を適用すれば、集団全体の分散は求められる。 281 この方針で求める際、それぞれのデータの値を文字で表すと考えやすい。 下の解答では, A,Bのデータの値をそれぞれx, x2, X20i, Ja,.., Yao として考えている。 なお、慣れてきたら,データの値を文字などで表さずに、別解のようにして求めてもよい。 解答 分散と標準偏差、相関係数 20×16 +60×12 集団全体の平均値は =13 20+60 集団全体の総和は20×16 +60×12 ともに整数。 またBの変量をyとし, データの値を y1,y2, ......, y6o とする。 5)²} 広い。 -6)2} Aの変量をxとし,データの値を X1,X2, .....,X20 とする。 のデータの平均値をそれぞれx,yとし,分散をそれぞれ sx', sy2 とする。 =x(x)2より, x2 =sx2+(x)' であるから x²+x2+......+X202=20×(24+162)=160×35 sy'=y(v)' より,y=s,' + (y)' であるから y2+y22+....+y6o=60×(28+122)=240×43 1 x²= 20 -X20²) よい。 =5.0625 25.29 よって、集団全体の分散は 1 20+60 集団全体の平均値は13 (x12+x22+. ...... +X202 +y12+y22+･･････ +yso2)-132 160×35 +240×43 131. -169=30 80 なけれ 簡単 別室 集団全体の平均値は 20×16 +60×12 20+60 =13 数 3工場 0 1 2 6 8 13 30 Aのデータの2乗の平均値は 24+ 16°であり,Bのデータの2乗の平均値は28+12%で あるから、集団全体の分散は 20×(24+162) +60×(28+122) 160×35 +240×43 -132= -169=30 80 20+60 練習 12個のデータがある。 そのうちの6個のデータの平均値は4, 標準偏差は3であ 178 残りの6個のデータの平均値は8,標準偏差は5である。 (1) 全体の平均値を求めよ。 (2) 全体の分散を求めよ。 [広島工大 ] Op.292 EX128

2円の位置関係についての質問です。 黄色い線の部分の整理の仕方を教えてください。 また、なぜこの形に整理するのかを知りたいです。

3 4点P, Q.D. =√60=2√15 238 右の図のように、直径 AB の長さが2rの半円に内接し,互い に外接する同じ大きさの円P,Qがある.また,円はP 円 Qに外接し,半円に内接している。このとき,円Pの半径 x, 円Rの半径yを求めよ. R A a B 右の図のように,円Pと円 Qとの接点をS, 円Pと半円 YRI T XC Oとの接点をTとすると, 3 ·x. S (点P, S, Qと3点O, PT は一直線上にある。学費するか △OPS において, ∠OSP=90°, OS=PS より, OPS は直角二等辺三角形であるから, OP=√2PS よって, r-x=√2x点Dを これをxについて解くと 235 食 010-01-80-0 B 01ROFEJMAOA |OT=r, PT=xより, OP=OT-PT =r-x 右の1 -r= (√2-1)r ...... ① x= √2+1 ∠PSR=90° であるから, 三平方の定理より, PS2+SR2=PR2 x2+{r-(x+y)}=(x+y) これを整理すると 2ry=(x-r)2 2M+MA (x+a)(x-1)+8+a SRの長さは, rからSOの長 さと円Rの半径を引いて求め る.

この問題の1番について、 a+5、a +3を２つの自然数 を用いて表していると思うのですが、なぜ文字は自然数 K のみだけ、とかじゃだめなんでしょうか？

例題 108 倍数 互いに素に関する証明 今は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, α+3は6の倍数であると α+9は12の倍数であることを証明せよ。 自然数αに対し, a と α+1は互いに素であることを証明せよ。 CHART & SOLUTION 倍数である, 互いに素であることの証明 p.426 427 基本事項 1.5 を自然数として α+5=4m, a+3=6nと表される。そして、「αの倍数かつ の倍数ならば ともの最小公倍数の倍数」であることを利用する。 また、aとbが互いに素のとき 「akが6の倍数ならば、kはもの倍数」であることを 利用してもよい ( 参照)。 (2) 互いに素である 最大公約数が1 最大公約数をg とおいて,g=1であることを証明すればよい。 自然数 A,Bについて AB=1 A=B=1 を利用する。 解答 なぜ 同じ買だめ? 経と同じ異だめ? (1)+5,α+3 は,自然数 m n を用いて a+5=4m, a+3=6n と表される。 a+9=(a+5)+4=4m+4=4(m+1) ① a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1) ② よって、 ① より α+9 は4の倍数であり, ② よりα+9 は 6 の倍数でもある。 したがって, α+9は4と6の最小公倍数12の倍数である Tisan's 割る数が 4章 互いにか13 素数とは 別解 (1) ① ② から 4(m+1)=6(n+1) すなわち 2(m+1=3(n+1) 2と3は広いに素である から m+1は3の倍数 である。 よって m+1=3k(kは自然数) と表される。ゆえに a+9=4(m+1) 数と倍数

教えてください、、

8. (2 marks) A water tank of dimensions 2 m x 1.5m x 3m contains water up to 2 m as shown below. 2 m water 1.5 m 2 m 6m³ water A solid rod of dimensions 0.5 m x 0.3 m x 3m is lowered into the tank as shown below. h 3 1.5 m 2 m

2002年京都大学文系数学の空間ベクトルの問題なのですが、この解法でも合っているでしょうか。 Googleで調べてもこの解法が載ってなかったので不安になって質問した次第です。 よろしくお願いします。

★★ (011) 9 四角形ABCD を底面とする四角錐 OABCD は OA + OC = OB+OD を満たしており,0と異なる4つの実数a, r,s に対して4点P,Q, R, Sを OP=OA, OQ=qOB, OR=rOC, OS=SOD によって定める。 このときP,Q,R, S が同一平面上にあれば 11+1/2=1/+1/ r S が成立することを示せ。 (京都大)

汚くて申し訳ないです💦 inf（写真下部）について質問です。 文章の理解はできたのですが、★部分をもう少し具体例で理解したいと思いました。例えばどんなものがあるのか教えていただけませんか？

トを問 4で外接する2円 0, 0' がある。 Aにおける共通接線上 点A の点Bを通る1本の直線が円0と2点C, Dで交わり, B 00000 明せよ。 を通る他の直線が円 0′ と 2点E, F で交わるとする。こ のとき, 4点C, D, E, F は1つの円周上にあることを証 OA OXF p.394,395 基本事項 3. 基本 82 403 CHART & SOLUTION 1つの円周上にあることの証明 方の定理の逆 4点が1 から、「べきの定理の逆」 を利用する方針で考える。 1つの円周上にあることは, 「円周角の定理の逆」, 「内角と対角の和が180°」, 「方べ の定理の逆」のいずれかを利用すれば示せるが,この問題では角度についての情報がな 4点C,D,E,F を通る円をかいてみると, 示すべきことが BC BD BE BF であること が見えてくる。 円0において,方べきの定理から B E ← 接線 BA, 割線 BD ←接線BA, 割線 BF BC・BD=BA2 円 0′において, 方べきの定理から 0 よって BE・BF=BA2 BC・BD=BE・BF ゆえに、方べきの定理の逆から、共 3 10 円と直線、2つの円 4点C,D,E,Fは1つの円周上にある。 に 内 inf 方べきの定理 PA・PB=PC・PD において PA・PB の値をべきという。ここで,円の半径をr とすると, [1] A 右図の [1] のとき PA・PB=PC・PD=(CO+OP)・(QD-QP) =(z+OP)(r-OP)=-QP2 [2] C D OP B B 右図の [2] のときは,同様の計算で PA・PB=OP2-r2 したがって, PA・PBの値は|OP2-2に等しい。OP2は, 点Pが固定されていれば一定の値である。すなわち 定点Pを通る直線が0と2点A,Bで交わるとき, PA・PBの値は常に一定である。 PRACTICE 90 金 円に、円外の点Pから接線 PA, PB を引き, 線分AB と PO の交点を通る円Oの弦 CD を引く。 このとき, 4点P,C, ODは1つの円周上にあることを証明せよ。 ただし, C,Dは P 足理 26 MI D B

右側の補足を読んでも分からないんですが、なぜそれぞれの確率の分子で-1してるんですか？🙇‍♂️ 6分の1かける5分の1だったらダメな理由はなんですか？🙇‍♂️

432 基本 例題 51 確率変数の期待値 ードを同時に引くとき,引いたカードの番号の大きい方を Xとする。このと 1から6までの番号をつけてある6枚のカードがある。この中から2枚のカ き, 確率変数Xの期待値 E (X) を求めよ。 CHART & SOLUTION 確率変数Xの期待値(平均) E(X)=Exp Xのとりうる値をx(k=1, 2,.....,n) とし,x=P(X = xx) とすると (X)=x+x+x=2xp k=1 p.428 基本事項 21 まず, Xの確率分布を求める。 その際, 確率Pの分母をそろえておくと, 期待値の計算がら くになる。下の解答では,C2=15 にそろえている。 解答 6枚のカードから2枚を引く方法は全部で C2通り Xのとりうる値は 2, 3, 4, 5, 6 である。 それぞれの値をとる確率は P(X=2)=282-131P(X=3)=- 15 P(X=4)=41=135, P(X=5)= P(X=6)=- 6C2 6-1_5 = 6C2 15 31_2 6C2 _5-1 = 6C2 15' 2715 15' よって, Xの確率分布は次の表のようになる。 X 2 3 45 6 計 1 2 3 4 5 P 1 Xは大きい方の数字で あるから, X=1 はあり 得ない。 X=k(26) のとき, 1枚はんのカードで 残 りは (k-1)枚から1枚 選ぶから, X=k である 確率は P(X=k)=k-1 6C2 15 15 15 15 15 ■えに, Xの期待値は 2 +5• E(X)=2-13 +3.1 +4.1/3 +5.15 +6.15 ・+3・ 15 15 _70_14 15 3 15 ・+6・ (起こりうるすべての場 合の数)=15 分母を そろえる。 (変数)×(確率)の和 答は約分する。