次の89の問題で青線のよって〜からのどこでどうやってPを求めているのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

87 直線 4x-3y=1 に平行な直線で,その間の距離が1であるような直線の方程式を求めよ。 直線 4x-3y=1 ･･･ ① に平行な直線を 4x-3y= k (kは定数) …② とおく。 よって, α = 0 すなわち P (0, 1) のとき,点Pと直線AB の距離が最小 となり, ABP の画頃が最小となる。 2 このとき, ABP の高さは であり, 線分ABの長さは √5 ①と②は平行であるから, 2直線の間の距離は, 直線 ①上の点 (1, 1) 平行な2直線間の距離は と直線②の距離に等しい。 どこをとっても等しい。 AB=√{1-(-1)}2+(-3-1)=2√5 よって, 求める面積は よって, 2直線間の距離は |1-k 1-k| 2 AABP = == ・2√5. = 2 √5 |41-31-k| √4°+(-3)" √25 |1-k| これが1に等しいから = 1 5 すなわち |1-k|=5 これを解くと k=-4, 6 ②より, 求める直線の方程式 4x-3y+4=0,4 3y-6=0 90 三角形の3本の中線は1点で交わることを証明せよ。 •1-k= ±5 より k = -4, 6 三角形の3つの頂点を A, B, C とする。 直線BC をx軸, 辺BCの中点を原点にとる。 A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0) (c>0) とし, AB, AC の中点をそれぞれM, Nとす ると, これらの座標は YA A(a, b) 88 3 直線 2xy = 1, x-4y = -3, 3x+2y=19 でつくられる三角形面積を求めよ。 2x-y=1... 1, x-4y=-3 ... ②, 3x+2y=19 … ③ とする。 直線 ①と②の失点をAとすると A(1,1) M(, ), N(a+c, b) 2直線 BN, OAの方程式は,それぞれ (-c, 0) O (c, 0) x 直線②と③の交点をB B(5, 2) と まず, 3交点の座標を求 めておく。 2 {a+c_()}(v-0)=1 =(1/x=(c)・・・① b 直線③と①の交点をCとする 3,5 (C (3,5) (a-0)y=(b-··· このとき ② h BC=(3-5)+(52 13 B (5,2) 点A(1, 1) 直線 ③んとすると <A(1,1) |3.1 + 19 0 14 h = 32+22 /13 (3 よって △ABC = 1 14 .BC.h= 13. = 7 2 √13 a b x = 3, y= すなわち, 1, ②点の座は 直線 CM の方は 3' 3 (ac)(v -0) △ABCの底辺と 考える, △ABCの高さ はんとなる。 すると a-3c b bc y= ·x- 2 2 2 この直線は2直線 ①②の交点 a b 3'3 通るから, 3直線 BN, OA, ①,②を連立させて解く a b 3 62 b (x-c) 02 89 点A(-1, 1), B(1,3) とし, 放物線y=(x-1) 上の点をPとする。 このとき, ABPの 面積を最小とする点Pの座標を求めよ。 また, そのときの△ABPの面積を求めよ。 CMは1点で交わる。 ゆえに、三角形の3つの中線は1点で交わる。 線分ABを ABP の底辺としたとき, 点P と直線AB の距離が高さである。 点P と直線ABの距離が最小となるとき, 1 △ABPの面積は最小となる。 直線AB の方程式は 底辺AB の長さは決まっ ているから,高さが最小 となれば, 面積も最小と なる。 -3-1 y-1= (x+1) 1+1 B すなわち 2x+y+1=0 P(a, (a-1)^) とすると, 点P と直線AB の距離は 2.α+1(a-1)+1| √√22+12 1 1 2 | +2| = a² + √5 5 1 +2 > 0 より |°+2| = a +2

星がついている問題教えて欲しいです。 （1）は分かりました！（1）の答えは-3/4<a<3/2です。

192 方程式 x2+y2+ax-(a+3)y+2a2=0 が円を表すとき (1) 定数 αの値の範囲を求めよ。 (5) (2)この円の半径が最大になるとき, その大きさと定数 αの値を求めよ。

次の問題で青線はどこから出てきたのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

81 3 直線 2x-y=1, 4x+3y = 1, ax + by =1が1点で交わるとき, 3点 (2, 1), (4,3), (a, b) は一直線上にあることを示せ。 3直線 2xy= 1, 4x+3y = 1, ax + by = 1 が交わる1点をP (b,g) とする。 このとき 2p-g=1 4p+3g=1 2 ap + bg = 1 3 ここで, 直線px+gy = 1 ④ を考える。 ①より, 点 (2, -1) は直線 ④ 上の点である。 る。 すなわち, 3点 (2,-1), (4,3), (a, b) は一直線上にある。 同様に,②より点 (4, 3) が, ③ より点 (a, b) が直線 ④ 上の点である。 したがって, 3点 (2, 1), (4, 3), (a, b) はすべて直線④上の点であ ① より, x=2, y = -1 は④の式を満たす。

次の問題で青線の様な変形をしていかないと答えに辿り着かないのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

245 α = 0, k = 0 とする。 曲線 C:y = xkx と, 曲線 C上の点(α, a-ak) における接線lで -αであることを示せ。 27 囲まれる部分の面積は f(x)=x-kx とおくと f'(x) =3x-k f' (a) =3d-kより, 接線の方程式は y-(a-ak) = (3a-k)(x-a) すなわち よって, 曲線と接線の共有点のx座標は x³ — kx = (3a² — k) x — 2a³ k>0 y▲ y=f(x)| y=(3d-k)x-2y=f(x) 上の点 0 a -2a <0 YA (t, f (t)) における接線の 方程式は y-f(t)=f'(t)(x-t) 「曲線C と直線 l は x = a で接するからこの方程式 は x = αを重解にもつ。 lk > 0 の場合とん<0 の 場合で y=f(x) とx軸 の交点が異なる。 「図ではa>0 の場合の みを表示してあるが, a < 0 であっても求める 面積Sは変わらない。 x3-3a2x+2a3 = 0 (xa)(x+2a)=0 よって x=-2a, a 右のグラフより, 求める面積S は S = √,„^{(x²³ — kx) — (3a² — k)x+2a³}dx -2a a = L" (x² - 3a²x+2a³)dx -2a a =(x-a)(x+2a)dx = = = -2a a 24 a -2a (x-a)(x-a+3a)dx {(x-a)+3a(x-a)}dx = [ — — — ( x − a )² + a ( x − a ) ³] ₂ -27 -2a -2a y=f(x) 4 x AR -2a S = {(3a² — k)x−2a³ -(x³-kx)}dx -2e == (x³-3a²x+2a³)dx 0 =(x-3a'x +2a)dx -2a

次の問題で青線の部分はどこから出てきたのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

質問なのですが、5行目から6行目への因数分解で、足して62、かけて2^3×3^2×13となる数字を見つけるのに、何か工夫はありますか？

(2) (x-3)(x-5)(x-7)(x-9)-9 =(x-3)(x-9)x(x-5)(x-7)-9 = {(x²-12x)+27}{(x²-12x)+35)-9 = = = (x²-12x)2+62(x²-12x)+33.35-32 (x²-12x)2+62(x²-12x)+23-32-13 = (x²-12x+26)(x²-12x+36) =(x-6)2(x²-12x+26)

次の問題で青い線はどの様にして出しているのでしょうか？解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス t>0 とする。 放物線 C:y=x2 上の点P(t, t2) における法線を1とする。 法線と放物線 C で囲まれる部分の面積Sの最小値とそのときのtの値を 求めよ。 Thm.3(3次関数) ⑥ y = ax+b+c+d 6 法線･･･ 点P を通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。 面積Sは 公式の利用 の構図 ⑨3次関数 11 《QAction 放物線と直線で囲む面積は,S(x-a)(x-B)dx=-1/2(B-α)を用いよ IとCの共有点のx座標 α, βを求める。 ⇒ α, β のうち1つは点Pのx座標であることに注意する。 解 y = 2x より 法線lの方程式は 例題 244 Thm, 2 接線と放物線) ④l, y=ax+bxtCl2 S = la (B-x)³ 例題 208 1 y-t² = =- -(x-t) 2t 1 よって y = -x+t² +⋅ 2t 2 法線と放物線Cの共有点のx 座標は = x+ -12- 2t -t- 2t <S(t)) P O t x I 1点P(t, f(t)) における 法線の方程式は | y − f(t) = − -(x- -t) 1 f'(t) 2+1/x-(1+1/2)=0より 2t (x-1){x+ (x−t) { x + (1 + 2/1 ) } = 0 2t IとCは点Pで交わるか この方程式は x = t を解にもつ 1 よって x=t, -t- 2t 244 例題ゆえに S= {(· 1 -x+ t² + x² dx 2t = - L 1 ( x 例題 68 t- − t) { x + ( t + 2 ) } d 1 3 2t x 3 = 1½ { t − (− 1 − 2)}² = 1 ½ (21+ 2+ ) ³ t 2t 2t t0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より s= 2t+ 2t 2t 3 M 5 = 1½ (2² + 1 ) = 1 - (2√2 · 117 ) = 1/3 2/2t⚫ 6 1 これは 2t = すなわちt= 2t のとき等号成立。 2 したがって, Sは t =1のとき 最小値 L(x-a)(x-B)dx — — -(ẞ-a)³ ReAction 例題 68 k 「X+ (X> 0) の最小 X 値は, (相加平均) ≧ (相乗 平均) を利用せよ」

次の問題で何故青いところは決まるのでしょうか0が真ん中にありうる場合もありませんか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

曲線 C:y = x6x2+9x と直線 l : y = αax で囲まれる2つの部分の面 積が等しいとき, 定数 αの値を求めよ。 ただし, 0 <α <9 とする。 曲線 Cと直線で囲まれた2つの部分の面積が等しい。 思考のプロセス S )dx = √(-)dx 0 a 文字を減らす このまま計算するのは大変 ])dx= = 0 Ddx - [" a ・グラフの上下が逆 1)dx + Lo 同じ @ ])dx=0 )dx = 0 とまとめられる。 Action》 面積の等分割は、積分値が0であることを用いよ 曲線 C と直線lの共有点のx座標は YA x-6x2+9x = ax x{x2-6x+(9-α)}= 0 0 <α <9 より x = 0, 3±√a 3-√a = α,3+√a = β とおくと, 曲線Cと直線で囲まれる2つの部 分の面積が等しいから a 3 B x B 39 8 x-6x+(9-α = 0 を 解くと x=3±√√(-3)2-(9-α) 3-a =3±√a ∫{(x-6x+9x)-ax}dx = ∫{ax(x-6x+9x)}dx a B ∫{(x-6x²+9x)-ax}dx∫{ax-(x-6x+9x)} = 0 a ∫{(x-6x²+9x)-ax}dx+f{(x-6x²+9x)-ax} = ſ„* {ƒ (x) = g(x)}dx = 0 -S {g(x)-f(x)}dx よってf(x-6x+(9-a)x)dx = 0 ここで (左辺 = [x-2x+ 9 a B = x² 2 2 10 B2 = 4 -{ρ°-8β +2(9-α)} β 0 であるから β2-8β+2(9-α) = 0 B=3+√a を代入すると a +2√a-3=0 (√d-1)(√a+3)=0 √a>0より √d = 1 すなわち a a=1 「f(x)dx+ff(x)dx = £* ƒ (x) dx β は β2-6β+(9-α) = 0 を満たすから p2 = 6β-(9-α) よって β2-8β +2(9- =-2β+(9-α) と次数を下げてもよい。

次の問題で何故青線の下から微分して増減表で解いていくのかがよく分かりませんどなたか解説お願いします🙇‍♂️

a≧0とする。 関数f(a) = lx(x-a)|dx の最小値,およびそのとき のαの値を求めよ。 思考プロセス 《ReAction 「f(x) の定積分は,f(x) の符号で区間を分けよ 例題246) 場合に分ける fx(x-2)dx は,面積で考える。 (ア) x=α が区間 0≦x≦1に含まれる (イ) x = α が区間 0≦x≦1に含まれない 解 (ア) 0≦α <1のとき f(a) = ft-x(x-a)}dx+x(xa)dx (イ) 3▲ 1 a x y=|x(x-a)| JO = (a- [13 23. = 1 Q3 1 1 a+ 2 3 YA y=|x(x-a)| a このとき f'(a) = a² f'(α) = 0 とおくと √2 12 O 1 a² = より 2 2 a 0 1 2 2 a = よって α = ± 2 f' (a) 0 + 2 よって, a≧0 において 1 f(a) 2-√2 12 > 増減表は右のようになる。 3 6 (イ) α ≧ 1 のとき f(a)=f(x(x-a)}dx = 3 a 1 3 2 (ア)(イ)より, y=f(a) のグラフ は右の図のようになるから, y=x(x-a)| =/ YA √2 N 2 + 12 4 3 1 √2 3 6 1 a 2-√2 6 憺) 2 (4) 1 2 2 + 1 3 √2 y=f(a) 1 f(a) は a= のとき 2 2-26 6 2 √2 0 最小値 6 W21 2 a

これの解き方を教えて欲しいです。

1 の小数部分をαとするとき +6 +8 3-√2 a 3 2-1 の値を求めよ。