写真の問題の赤線部についてですが、なぜn≧1と書く必要があるのでしょうか？ その上の行でΣとCをすでに使っていますが、ΣとCのnの部分は定義から、n≧1だから、赤線部の前にn≧1という条件はすでに考慮してるのではないのでしょうか？解説おねがいします。

基礎問 P 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して,2"> n を示せ. AOAO k-1 (2) 数列の和 S. = 2 (1) anで表せ△〇〇〇 k=1 (3) lim Sm を求めよ. △△△△ n→∞ |精講 (1) 考え方は2つあります。 I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます. PROCE (数学ⅡI・B4 ⅡI. 自然数に関する命題の証明は帰納法 (数学ⅡI・B 136 Fet (2) Σ計算では重要なタイプです. (数学ⅡB 120 S=Σ(kの1次式) k+c (r≠1) は S-S を計算します. (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」という考え方を用います. bn≦an≦en のとき limb=limcn = α ならば liman=α n→ 00 n→∞ n→∞ この考え方を使う問題は,ほとんどの場合,設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) どういう意味? 解答 (1) (解I)(2項定理を使って示す方法) n (x+1)=2nCkck に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+nC1+nC2+..+nCn ¹) n=1 F²³5, 2²nCo+nC₁=1+n>newhere 2">n ( 解ⅡI) (数学的帰納法を使って示す方法 ) 2"> n (i) n=1のとき 左辺=2,右辺=1 だから, ①は成りたつ

この問題なんですけどこの答えで合ってますか？ あってなかったらどこが違うのか教えて欲しいです、

2 第4文型 (S+V+O+0) の受動態 → Hiroshi gave her a box of chocolates. S VO O She was given a box of chocolates by Hiroshi. A box of chocolates were given (to) her by Hiroshi. (1) The school lent Jim a new computer The school was lent anew computer by Jim. A new computer was lent the school by Jim. (2) Barbara sent Ryota a letter. →省略(書 Ryota was sent a letter by Barbara. A letter was sent Ryota by Barbara.

何で反復試行になるのか教えてください！！

指針 注意 解答 北または東へ5区画進むうち, 東入 7! AからBまでのすべての道順は 3!4! × =35通りで,そのうちC地点を通る道順は WAZHOURSE (8) 20 5! 35 すべてが同じ確率で起こるとは限らないので注意が必要である。 例えば, D地点を通 2! 2!3! 1!1! -=20通りであるが, 求める確率は としては誤り。35通りの道順は る道順とE地点を通る道順はともに1通りずつであるが, D地点を通る確率は (1216E地点を通る確率は ( 122-1212である。 8 C地点を通るのは,東へ2区画, 北へ3区画進んだ場合である。 3 よって、求める確率は C (12) (12)=1/圏ハラ 16 のとする。 このとき, 次の確率を求めよ。 (1) 甲がC地点を通る確率 コント 20 製品が大量にあるから、 何個か取り出 1 ✓ * 121 右の図のような碁盤の目の道路 (各碁盤の目の東 西間、南北間の距離はすべて等しい)がある。 甲、 乙2人が, それぞれA地点, B地点を同時に出発し, 甲はBに,乙はAに向かって同じ速さで進むもの とする。 ただし、 2人とも最短距離を選ぶものと し,2通りの選び方のある交差点では,どちらを選ぶかは 1/3の確率であるも GA C B to (2) 甲と乙が CD間ですれちがう確率 造した [1 122 硬 1 の (1) 例題 指針 解答 123

72.1 原点Oについての文章は必要ですか？ また必要ならなぜ必要なのでしょうか？

[0] 基本例題 12 座標を利用した証明 (1) 食 (1) △ABCの重心をGとする。 このとき, 等式 ABCT)ALLED AB'+BC2 + CA'=3(GA²+GB2 + GC2) が成り立つことを証明せよ。 9 $ (2) △ABCにおいて, 辺BC を 1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式 2AB'+AC2=3AD' +6BD' が成り立つことを証明せよ。 TOLOUR MAT 指針 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき 0 31 けで AB この座標軸をどこにとるか、 与えられた図形を座標を用いてどう表すか がポイントになる。そこで後の計算がらくになるようにするため,問題の点がなるべく 多く座標軸上にくるように 0が多いようにとる。 (1) は A(3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0) とすると, 重心の性質からG(a,b) (2) l A(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0) CHART 座標の工夫 1 0 を多く ② 対称に点をとる Let 解答 (1) 直線BC をx軸に, 辺BCの垂直二等分線をy軸にとると,| 線分BCの中点は原点0になる。 A (3a, 36),B(-c, 0), C(c, 0) とすると, Gは重心であるからG(α, b) と表される。 よって AB2+BC2 + CA 2 (1) +8+-- =(-c-3a)² +962+4c²+(3a-c)2 +962 ① の場=6a²+662+2c2 ...... 0212 =3(6a²+6b²+2c²) HOMEB 平行四辺 GA2+ GB2+GC 2 (1=(3a-a)²+(36−b)²+(-c-a)²+b²+(c-a)² + b² ② ① ② から AB2+BC2+CA²=3(GA+GB2+GC2) (②2) 直線BCをx軸に点D を通り直線BC に垂直な直線を y軸にとると,点Dは原点になり, A (a,b), B(-c, 0),( (20) と表すことができる。 24+ (x + (11) M よって 2AB'+AC'=2{(-c-a)+(-6)^}+(2c-a)+(-6) 2 =2(c²+2ca+a²+b²)+4c²−4ca+a²+6² 2)2 2007 =3a²+3b²+6c² 3AD²+6BD²=3(a²+b²)+6c² ①②から 基本 71 ② B (-C,0) 2AB²+AC²=3AD²+6BD² +3,0 0-8 A 基本 85 EA(3a, 36) 0 (G (a,b) (c, 0) x y A(a, b) (E) 4 B12- (-c, 0) OD a(s) 2−)Ɔ (^_{}ª_{{I_DA Mɛ (1) 3DSMATRROS:8,9% 音の点をPとする。このとき,等式 117 (2c, 0) x ET 3章 12 直線上の点、平面上の点

sin、cos、tanがそれぞれｰ1､0､1の時の値ってどうやって覚えればいいですか？

50 56 0 G 0 sine 0 cose 1 ( tane 0 7/6 K|4 | |~| - || ₂ F|3 1 3 KIN 2 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 0 2/3 T なし NIT NEW NÍN 3-4 -√3 -||~, 2 ///~ L -1 2 TC -||~, 0 0 1|2 10 100 I -|Lª 4-3 ~|| ~₂ NKO 2 3-2 -|^ 0 5-3 R なし 3 7-4 4π 315° 330° T 2 26 -1 1-2

33. 相加相乗平均についての記述はこれでも大事ですか？？

58 基本例題 33 多くの式の大小比較 a> 0,60,a=6のとき, 解答 ! √ab よって 指針 4つの式の大小を, 2つずつ ( 4C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。 そこで, a>0, b>0 を満たす数 α=1,b=3 を代入してみると 2ab 3 a² +6² -=2, √ab = √3, a+b 2ab よって, a+b この予想をもとに, 2つずつ大小関係を決めていく。 【CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する 2ab a+b 参考 a+b 2 √ab > また、 練習 ③33 <√ab <a+b √√ a² + b² >0₁ a+b> V 2 2 ①~③から √ab (√a - √6)² >0 a+b 2ab a+b り立つ。 すなわち 2ab a+b a+bab2ab αキb と (相加平均) (相乗平均) によりa+b 2 √ab(a+b)−2ab __ _√ab(a+b−2√ab) a+b a+b 2ab a+b 2 VT 2 ① >0から _ x (√√ a² + b³² )" - (a + b)²_a²+ b² _ (a+b)² _ (a−b)² 2 4 4 a²+62 <√ab <a+b 2 a² +6² 2 (2)0<a<b<c<dのとき, (1)0<a<b,a+b=1のとき, a+b' V a d' 2 V 2 1 2' であると予想がつく。 a+b 2 a² +6² 2 C b 2 >√ab af ac a² +6² 上の例題において, a=bのときは, ①, ②, ③ それぞれで> を=におき換えた等式 2ab a+b bd' = √5 a+b 2 (3) a=bのとき √ab= は逆数の相加平均の逆数である。これを調和平均という。 の大小を比 基本2 2 1 1 + a b 上の例題の結果とAから,一般に,a> 06 > 0に対して次のことが成り立つ。 ◄ab=(√ab)² a+c √ab >0, √a-√i 5 (√a-√6)²x1 440CM CA 18303450 を含むから、平 ->0を比較。a-b=0 a=bから、等号不 (調和平均) (相乗平均) (相加平均) (等号が成り立つのはα=6のとき) a=bのとき。 a² + b² 2 カロ A a,b, zaba²+62 の大小を比較せよ。

120. この記述でも大丈夫ですか？

490 重要 例題 120 素数の問題 (余りによる整数の分類の利用) = nは自然数とする。 n。n+2. n+4がすべて素数であるのはn=3 あることを示せ。 [早稲田大, 東京女子大] n+2 4 n+4 基本117) 2 3 5 7 11 13 71 ⑤79 13 15 6 7 9 11 15 17 inn+2,+4の中にnが含まれている。 指針▷ nが素数でない場合は条件を満たさない。 nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ ると右の表のようになり, n, n +2, n+4の中には必ず 3の倍数が含まれるらしいということがわかる。 よって、n=2,3のときは直接値を代入して条件を満た すかどうかを調べ、nが5以上の素数のときは, ○素数, 3の倍数 n=3k+1,3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない、すなわちn+2,+4のどちらかが 素数にならないことを示すという方針で進める。 CHART 整数の問題 いくつかの値で 小手調べ (実験) 解答 nが素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。 nが素数の場合について [1] n=2のとき, n+2=4 となり,条件を満たさない。 [2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で、条件を満たす。 [3]nが5以上の素数のとき, nは3k+1, 3k+2 (kは自然 数) のいずれかで表され 00000 3の場合だけで (ii) n=3k+2のとき n+4=3k+6=3(k+2) +2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数にならず, 条件を満たさない。 以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。 (i) n=3k+1のとき n+2=3k+3=3(k+1) < +1は2以上の自然数であるから, n+2 は素数にならず, 条件を満たさない。 規則性の発見 3数のうち, nが素数でな <n+4 (6) も素数でない。 n=3k (n≧5) は素数にな らないから,この場合は考 えない。 の断りは重要。 k+1=1 とすると, n+2=3 ( 素数 ) となるため,このように書 いている [(ii) でも同様] 。 182 18 検討 双子素数と三つ子素数・ nは自然数とする。 n, n+2 がともに素数であるとき,これを 双子素数という。また, (n,n+2,+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。なお, 上の例題から, n, n+2, n+4の形の素数は (3,5,7) しかないことがわかるが,これを三つ子 素数とはいわない。 双子素数や三つ子素数は無数にあることが予想されているが, 現在 ( 2018 年), そのことは証明されていない。

⑵の答えは何になるか教えてください。

Did you forget your (to / me / promise the station / meet / at ) at nine? Did you forget your Promise to meet me at the StatTor (2) 日本人の監督によって撮られた映画が賞を獲得しました。 The Japanese / won/movie/a/by/ director / filmed) the prize.

この相加相乗平均のところがわかりません。

【解答】 AD=x, AE=y, ∠BAC=0 とおくと, 三角形 ABC に余弦定理を用いて,求める。 COS A 条件より, ADE = 1/12 △ABC であるから, 1 11 3 2 等号成立は, のときである. ③, ④ より, よって, 72+62-5² 5 ROURE-BA 2･7・6 =I …① 7' であり,このとき, よって, xy=14. このとき, 三角形 ADE に余弦定理を用いて, DE²= x² + y² — 2xy cos 0= x² + y²—2·14.- =x2+y2-20. (相加平均) ≧ (相乗平均) より, -xy sing= ・7･6sin 0. x²+y² ≥√x²y² = xy=14. 2 00 5 ie 7 AS BACDE の最小値は 2v/2 AD=AE=√14 DE'≧28-20=8. odg DE ≧2√2. x2+y228. 01 B /DC D (①,②より) AS A FORT -5 AEG x²=y² 8A08A RE J-1 BACA x=y (x>0,y>0より) (9) x=y=√14 (②より) 105 - +³ 7 E(1) C 3

9. 「目の出る場合の数の総数は」でなくて 「起こりうるすべての場合は」でもいいですか？？

310 00000 基本例題 9 (全体) (･･･でない)の考えの利用 大中小3個のさいころを投げるとき、目の積が4の倍数になる場合は何 [東京女子大] あるか。 指針▷「目の積が4の倍数」を考える正攻法でいくと、意外と面倒。そこで, (目の積が4の倍数)=(全体) (目の積が4の倍数でない) OURIS 【CHART 場合の数 として考えると早い。ここで, 目の積が4の倍数にならないのは,次の場合である。 [1] 目の積が奇数→3つの目がすべて奇数 [2] 目の積が偶数で, 4の倍数でない→偶数の目は2または6の1つだけで、他は奇数 $E$1 解答 目の出る場合の数の総数は 6×6×6=216 (通り) 目の積が4の倍数にならない場合には, 次の場合がある。 [1] 目の積が奇数の場合 3つの目がすべて奇数のときで 3×3×3=27 (通り) [2] 目の積が偶数で, 4の倍数でない場合 TO 012 3つのうち,2つの目が奇数で,残りの1つは2または6の目 であるから ( 32×2)×3=54 (通り) [1],[2] から,目の積が4の倍数にならない場合の数は 27+54=81 (通り) よって 目の積が4の倍数になる場合の数は 216-81=135 (通り) 練習 早道も考える わざ (Aである) = (全体)(Aでない)の技活用 ((B)-1X8XS. (6+1)(3 検討 目の積が偶数で, 4の倍数でない場合の考え方- 09 → 積の法則 (63と書いてもよ い。) 奇数どうしの積は奇数。 1つでも偶数があれば積 は偶数になる。 4が入るとダメ。 CORO 上の解答 [2] は,次のようにして考えている。 大,中,小さいころの出た目をそれぞれO,△, □とすると, まず右の図のような場合が考えられる。 2または6の入る場所 は、 または△でもよいから、目の積が偶数で,4の倍数でな い場合の総数は ( 3×3×2)×3 [参考] 目の積が4の倍数になる場合の数を直接求めると,次のようになる。 (i) 3つの目がすべて偶数 33 通り 2つの目が偶数で,残り1つの目が奇数→ (32×3)×3通り (ii) 1つの目が4で,残り2つの目が奇数 (1×3²)×3 和の法則 基本 (全体)･･･でない) 大 中 小 ↑ ↑ ↑ 奇数 奇数 2または6 ( 3通り)×3通り)× ( 2 通り) 大, 中, 小3個のさいころを投げるとき, 次の場合は何通りあるか。 (1) 目の積が3の倍数になる場合 の倍数になる場合 合わせて 27+81+27=135 (通り) ま !