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基本例 111 2 次不等式の解法(2)
次の2次不等式を解け。
(1) x2+2x+1> 0
(3) 4.x≧4.x2+1
指針 前ページの例題と同様, 2次関数のグラフをか
いて、不等式の解を求める｡ グラフとx軸との共
有点の有無は、不等号を等号におき換えた2次方
程式 ax²+bx+c=0 の判別式Dの符号, または
平方完成した式から判断できる。
解答
(1) x2+2x+1=(x+1)^ であるから
不等式は
(x+1)²>0
よって、 解は
-1以外のすべての実数
4x²-4x+1≦0
(2) x2-4x+5=(x-2) +1 であるから, (2)
不等式は
(x-2)+1>0
よって, 解はすべての実数
(3) 不等式から
4x²-4x+1=(2x-1)2 であるから,
不等式は
(2x-1)² ≤0
よって, 解はx=
2
(4) 不等式の両辺に-1を掛けて
3x²-8x+6<0
2次方程式 3x28x+6=0 の判別式を
Dとすると 12/12(-42-3･6=-2
(2)
x²-4x+5>(
(4) -3x2+8x-6> 0)
練習 次の2次不等式を解け。
111 (1) x+4x+4≧0
(3)
-4x²+12x-9≧0
1/₂
✓
+
+
-1
(3)
PR
3x²8x+6<0 を満たす実数xは存在しない。
よって与えられた不等式の解はない
+
2
3x²-8x+6<0
D-00) la>0] p<0
x
(2) 2x²+4x+3 < 0
(4) 9x²-6x+2>0
X
a
p. 187 基本事項
1000
x
AD=0 の場合、左
を基本形に。
<x<-1,-1<xとも
てもよい。
DO の場合、左
を基本形に。
x2の係数は正で,かつD<0であるから すべての実数 D<0から、
x に対して3x²-8x+6> 0 が成り立つ。
y=3x²-8.x+6
よって、与えられた不等式の解はない
別解 不等式の両辺に-1を掛けて
3x²8x+6=3(x-1/31
3+1/30であるから、
関数 y=x2-4x+50%
は すべての実数
して
y>0
<関数y=4x²-4x+10
値は
x=
1/12/0 のときy=l
1/2のときゅう
のグラフとx軸は共
点をもたない。これと
①のグラフが下に
あることから、すべて
実数x に対して
3x²-8x+6>0
