題 150 連続と微分可能
「代の
1
*sin-(xキ0)
関数 f(x)=
0
x
は,x=0 で連続か.また,x=0 で
(x=0)
微分可能か、
(連続)
f(x) が x=a で連続
limf(x)=f(a)
〈微分可能)
f(x)が x=a で微分可能
f(a)=limf(ath)-f(a)
h
x→a
h→0
が存在する
このとき,「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても,微分可能とは限らな
い」ことに注意する。
xキ0 で 0Ssin
S1,
x>0 より,
解答
| lim f(x)=f(0)であるか確
ズ→0
'sin
Sx?
かめて,x=0 で連続かど
うか調べる。
|x>0 より,各辺にx°を
掛けても,不等号の向きは
変わらない。
各辺をx→0として極限
をとり,はさみうちの原理
を利用する。
0S
limx=0 より, lim x°sin-
x→0
x→0
したがって,
lim f(x)=limx'sin-=0
x→0
x→0
x
f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり,
関数f(x) は x=0 で連続である。
f(0+h)-f(0) \'らまてめ
5ゃってる
(保全上?)
x→0
次に、
lim
h
x=0 で微分可能かどうか
h→0
調べる。
1
h'sin
-ー
h
Y4
Thtりe
0こくなる
0shsin- Sl limla-0 より,①は、
=lim
h
|y=f(x)
h→0
1
=limhsin
h
h→0
h→0
1
h
th7arの07-中定め
limhsin-
=0
h→0
よって,f"(0) が存在するので、
関数 f(x) は x=0 で微分可能である。
F(0)=0
)x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。
