ID
例題 142 絶対値,偏角の最大・最小
不等式 |z-2-2i√2 を満たす複素数 z について
(1) 複素数平面上の点P(z) の存在範囲を図示せよ。
(2)|z-1の最大値、最小値を求めよ。
(3) zの偏角を0(0≦02) とするとき, 0 の最大値を求めよ。
« ReAction 絶対値|z-α| は, 点と点αの距離とみよ 例題138
思考プロセス
(1) 不等式
図で考える
点と点
]の距離) 2
(2)yA
P
(3)y
P
(2)|z-1の最大・最小
点と点1の距離の最大・最小
(3)2の偏角の最大
x
一 OP と実軸の正の向きとのなす角の最大
y
解 (1) z-2-√2 より
2+√2
z-(2+2i)|≦√2
2
よって、点P(z)の存在範囲は右
の図の斜線部分。ただし, 境界線
を含む。
O
2
x
点 2+2i からの距離が
√2 以下となる点である
から 中心が点A(2+2i),
半径が√2のCの周お
よび内部となる。
(2) 中心が点A(2+2i), 半径が√2の円をCとする。
|z-1は, (1) で求めた領域内の
y
点と点の距離を表す。
Cの半径は2であり,点1と
点A(2+2i) の距離は
√2
√5
|1+2i| = √1°+2°
|(2+2i)-1| = |1+2i| = √5
O
1
x
√5
よって, z-1| は 最大値5+√2 最小値/5/2
(3)の偏角0 が最大となるのは
y
直線 OP が右の図のように,円C
に接するときである。 このとき
AP:OA= √2:2√2 = 1:2
26
CA
π
2√2
∠OPA= π
より
2
∠AOP=
π
0
π
x
6
4
また、直線 OA と実軸の正の部分のなす角は
π
よって, 0 は 最大値
4
πC
π
5
+
4
TC
6
12
を通る直線と円 C の交点
になるときである。
OA=
=√2+2=2√2
△POAは直角三角形。
点Aを表す複素数は
2+2źであり π
arg(2+2i) 4
最大・最小となるのは,点
zが点1と円Cの中心A
練習 142 不等式 +1
