高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... 続きを読む

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

黄色のマークの部分がわかりません。 教えてください🙇🏻‍♀️

3 P(x)=x3+2x2+3x-4のとき, 次の式でわったときの余りを剰余の定理を用いて求めなさい。 [ 参考 教科書 P.22] (1) x-2 P(2)=2°+2×2+3×2-4 1 =8+8+6-4 =18 (2)x+2 ((-2)=(-2) +2×(-2)+3×(-2)-4 =-8+8-6-4 F-10 4 次の式がP(x)=x-(a+3)x2+(3a+2)x-2a の因数であるかどうかを調べなさい。 ただし, α は実数とする。 [参考 教科書 P.23] (1) x-1 x-a P(1)=パー(1+3)x1+(3+2)x1-2P(2)=2-(2+3)x24(6+2)×2-4 =3-31+5-2 3 =8-20+16-4 0 P(1)キロだからかは P(2)=0だからx-2は 因数ではありません 因数です 3⊥A2⊥v_6 円粉分解しなさい わり質の上うすを必ずかく 教科書 P231

剰余の定理、因数定理の単元の問題です。 この問題の先生の解説の板書の意味が分かりません。 黄色い四角で囲ってあるところの解説お願いします🙇‍♀️

5.P(x)を(x-1)でわった商をQ(火) x+2 Q'(x)とすると、 P(x)=(x-1)2Q(x)+4x-5 P(1)=-1P(-2)=-4. P(x)=(x+2)Q(x)-4 P(x)を(x=1(+2)でわった余りは、2次以下の式で、(商をQ"とおく) (x-1)2 4x-5 求める余りは(x-1)+4x-5 なので、P(x)=(-1)(x+2)(x)+=+4x-5 とおける。 P(-2) = 0 + 9a-13 -4=9a-13 a=1 よって、 412 x22x-44 1220

虚数w の範囲 です。全く分からないので1から丁寧に解説して欲しいです、お願いします。

演習問題 28 x=1 をみたす虚数解の1つをωとするとき, w2n+wn+1の値 をn=3m, n=3m+1, n=3m+2の3つの場合に分けて求めよ. ただし, mは自然数とする.

(2)についてです。 解説の7行目にある式で、左辺の-xは右辺ではどこへ行ったんですか？ 教えてください！

51. (1)の整式 P(x) を x-1 で割った余りが1, x-2で割った余りが 2,3で割った余りが3となった. △ P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) 割った余りを求めよ. (2)は2以上の自然数とする. k=1, 2, 3, ….., n について, 整式 P(x) を xk で割った余りがんとなった. P(x) を (x-1)(x-2)(x-3). (x-n) で割った余りを求めよ. (神戸大)

55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

赤下線部がよくわからないです。 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

286 整式f(x) をx+5で割ると余りが11, (x+2)2 で割ると余りがx+3と なる。このとき, f(x) を(x+5)(x+2)2で割ったときの余りを求めよ。 [15 立教大〕

3-2,4-2の答えを教えてください💦

11 数学Ⅱ R5前2-2/4 13 P(x)=x3+3x2+x-3のとき,次の式でわったときの余りを剰余の定理を用いて求めなさい。 [参考] 教科書 P.22] (1) x-2 ((2)=23+3×2²+2-3 =8+3×4-1 =19 したがって余りは19 (2)x+2 P(-2)=23+3×(-2)+(-2)-3 =8+(-12)+(45) 11 したがって余りーい。 4 次の式が P(x)=x-(a+3)x2+(3a+2)x-2aの因数であるかどうかを調べなさい。 ただし, a は実数とする。[参考 教科書 P.23] (1) x-1 (1)=パー(a+3)x1 (30+²)×1-20 =(a+3)x1+(3a+2)×1-2a = 1 - (a + 3) + Bat 3 = 2 a 20 (-a-3+3a+2-2 ファー11P(大)の因数である。よってx-aはP(x)の因数である 150x32x32x2を数分解を必ずかくこと。 [場教科書 P.23] - (2) x-a P(a)=a^²-(a+3)xa²+(3a+2) - a²-a³_-3a²+ ¾a²- PA =-3a²+3a² ya-ga

(2)を教えて欲しいです。数IIの剰余の定理の問題です。解説を読んでも緑マーカー部分の式変形から全然分かりません。どなたかよろしくお願いします！

** 27 2(= 月 日 (メー xの整式f(x) を x-1, x+2, x2+x+2で割ったときの余りがそれぞれ2,5, -3x+1である。 (1) f(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。 (2) f(x) を(x-1)(x²+x+2) で割ったときの余りを求めよ。

(2)教えてください

基礎問 44 第2章 複素数と方程式 26 剰余の定理 (ⅢII) (Ⅱ) Aedr 25 (1) 整式P(x) をx-1, x-2, x-3でわったときの余りが, そ れぞれ6, 14, 26であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) で わったときの余りを求めよ. (2) 整式P(x) を (x-1)2 でわると, 2x-1余り, x-2でわると 5余るとき, P(x) を (x-1)' (x-2) でわった余りを求めよ. +1... 28 .: 注 か (2) P