a" +b"
(3) a² + b² = (a+b)" ① とする。
2
2
….....
[1] n=1のとき (左辺)=
a+b
2
(右辺) =
よって, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つ, すなわち
k
a² + b² = (a + b)"
2
2
N
と仮定する。
n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると, ② から
ak+1 +bk+1 a+b\k+1
- ( =
ak +1
=
2
+6k+1
2
2
ak+1 +bk+1
2
=
=
a+b
2
ak+1
a+b. (a+b)*
2
2
a+bak+bk
2
2ak+1 +26k+1-ak+1-abk-akb-bk+1
4
2
+6+1-ab²-ab (a - b)(ak_bk)
4
4
この式は、a≧b のときも, a b のときも0以上になるから
ak+1+bk+1
a+b\k+1
2
2
よって, n=k+1 のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて ① は成り立つ。
=
