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重要 例題 170 曲面上の最短距離
1とする。
右の図の直円錐で、Hは円の中心, 線分ABは直径,
OH は円に垂直で, OA=a, sinO
3
点Pが母線 OB 上にあり, PB= " とするとき,
点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経
路の長さを求めよ。
指針 直円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。そこで、曲面を
げる。つまり 展開図で考える。 → 側面の展開図は扇形となる。
なお, 平面上の2点間を結ぶ最短の経路は, 2点を結ぶ線分である。
解答
AB=2r とすると, △OAH で, AH=r, ∠OHA = 90°,
1
sine であるから
3
a
3
側面を直線OA で切り開いた展開図
は、図のような, 中心 0, 半径
OA=αの扇形である。
中心角をxとすると、 図の弧 ABA'
の長さについて
2ra
360°
= 2πr
104=1/3であるから
a
A
ad
3
B
=a+²+ ( a )² - 2ª + ² a ² — — — ²
*+ 2a
2 17
=
3
2 9
AP>0であるから 求める最短経路の長さは
IP
X
0
-=120°
√7
B
a
A'
Y
x=360°・ =360°
a
ここで求める最短経路の長さは、 図の線分 AP の長さである 2点 S, T を結ぶ最短の経
から、△OAP において, 余弦定理により,
は、2点を結ぶ線分ST
AP = OA²+OP2-20A ・OP cos 60°
1辺の長さがαの正四面体OABCにおいて 辺AB,
170 BC, OC 上にそれぞれ点P, Q, R をとる。 頂点Oから
P,Q,Rの順に3点を通り,頂点
長さを求めよ。
0000
A (A) A
S
B
弧ABA' の長さは, 底面の
円 H の円周に等しい。
EXER
114
半径20
AB: B
の面積
する｡
115 AABO
である
116 AAB-
が成り
(1) S
③ 117 次の
(1)
(2)
(3)
(4)
③ 118 1匹
3 C
(1)
(4)
119 41
し
(1)
(2
HINT
