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基本例題 213
係数に文字を含む 3次関数の最大・最小
①①①①①
aを正の定数とする。3次関数f(x)=x-2ax2+α'x の 0≦x≦1における最大
値M (α) を求めよ。
[類 立命館大 ] 基本 211
重要 214
指針文字係数の関数の最大値であるが,か.329 の基本例題211 と同じ要領で, 極値と区間の端
での関数の値を比べて 最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな
る(原点を通る)。ここで, x=1/3以外にf(x)=f(
3
(これをαとする) があることに注意が必要。
解答
a
3'
合分けを行う。
よって,
f'(x)=3x²-4ax+a²
=(3x-a)(x-a)
f'(x)=0 とすると
a
α(// <a)が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
a>0 であるから, f(x) の増減表
は右のようになる。
x=
ここで、x=1/3以外にf(x)=2
f(x)=1/27から
ゆえに
a
3'
x-
3
1</o/ すなわちa>3のとき
3
112] 12/2016/01/314 すなわち2014/12
sisa
a
4
2
1-20+ a²
x
a f'(x) +
f(x)
2
x³-2ax² +a²x-
7
≦a≦3のとき
...
[0</1/24 <1 すなわち0<a<2のとき
30</a<1
以上から
4
27
a
(x-10/31)
2(x-212/30)=0x401/3であるから
したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (a) は
a
3
0
|極大
4
27
以外にf(x)=1を満たすxの値を求めると
-a³=0
Sw
I
注意(*) 曲線 y=f(x) と直線y=d' は, x=-
a を満たす
a
極小
0
0
0<a<2,3<a のとき M(a)=a²-2a+1
4
M(a) = 27
x=
M(a)=f(1)
≦a≦3のとき M(a)=(1/3)
M(a)=f(1)
-a³
2
+ √( ²3² ) = ²3² (-²3 3 a) ² = 24/7 @²
[1] 34
0
で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
f(x)=x(x2-2ax+α²)
=x(x-a)^ から
[2]y
4
2703
YA
[3] YA
4
27031
I
-a²-2a+1
U
1 a
3
- 10/3
最大
a
T
T
1
0
I
alm
3
1
最大
a
1 a
a²2-2a+1
aax
[最大]
a
1
a 4
0 a
3
a
x
4
4
a
- 12/12 は、x=1/3の点において接するから、f(x) - 2270'は
27
