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基本例題 117a.niba.+(n の1次式) 型の漸化式
DE TÚRINA CAMINI
PRO
ART 4
a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
基本 116
p.560 基本例題116の漸化式an+1=pan+g の g が定数ではなく, nの1次式となってい
る。このような場合は,nを消去するために階差数列の利用を考える。
CHART 漸化式 an+1= pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
an+2=3an+1+4(n+1)
②-①から
an+1-an= bn
これを変形すると
① とすると
an+2an+1=3(an+1-an) +4
n≧2のとき
<a
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって,数列{bm+2} は初項 8,公比3の等比数列で
n-1
2
bn+1=36+4
bn+1+2=3(6+2)
+2=8.31 すなわち bn=8・3-1-2...... (*)
an=a+2(8.3k-1-2)=1+
k=1
=4・3"-1-2n-1 ...... ③
83-1-1)
3-1
00
-2(n-1)
①のnにn+1 を代入する
と②になる。
差を作り, n を消去する。
<{bn} は{an}の階差数列。
<α=3a+4 から α=-2
<az=3a+4・1=7
n≧2のとき
7-1
an=a₁ + Σbk
n=1のとき
4・3°-2・1-1=1
a=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって
an=4.3”-1-2n-1
(*)を導いた後, an+1-αn=8・3-1-2 に ① を代入して α を求めてもよい。
初項は特別扱い
(検討) {an-(αn+β)} を等比数列とする解法
別アプ例題はαn+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとおき,
ローチ
① の形に変形できるようにα,
an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
β の値を定める。
①から
ゆえに
an+1-{a(n+1)+B}=3{an (an+B)}
an+1=3an-2an+α-2β
これと an+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
-2a-4, a-28=0
って
α=-2, β=-1
ゆえに
f(n)=-2n−13.0=20
①より、数列{an- (−2n-1)} は初項α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4・3-1
したがって an=4.3" 1-2n-1
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+X
3章
117 = -2, an+1=-3α-4n+3によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
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5 漸化式と数列
