基本例題 19 万有引力による位置エネルギー
>96,97
地球の表面から速さ voで鉛直上方に物体を発射したとき,到達する最大の高さhを
考える。地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1) 万有引力による位置エネルギーを考え, voをg, R, hで表せ。
(2) んがRに比べて十分に小さいとき, voはどのように表されるか。
(3) voを大きくすると, 物体は地球上にもどらなくなる。 このとき,
v0はいくら以上にすればよいか。 g, Rで表せ。
Vo
R
指針 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので, 「GM=gR°」を用いて
9, Rで表す。
解答(1) 物体の質量をmとする。力学的エネルギー保存則より
Mm
G
R
Mm
+。22
GMm
(G:万有引力定数, M: 地球の質量)
2
R+h
GMm R+h-R_GMm
R+h
1
GMm
GMm
R
h
mvo'
2
1
R+h
三
R
R+h
R
R
R
R+h
gR**m
ここで GM=gR* より →mu3=
h
R R+h
2gRh
よって V0ーVR+h
h
=0 より
2gRh
Vo=
VR+h
2gh
h
1+
R
(2) んがRに比べて十分に小さいとき,
=(2gh
ニ
(3) 地球上にもどらないようにするには, hが無限遠であればよい。
2gRh
VR+h
このとき,=0より
R
h
2gR
=(2gR
ニ
R
+1
h
