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発展問題 80, 81
発展例題11
図のように,ばね定数んの軽いばねの下端を固定し,上端に質量Mの
水平な台Bを取りつけ, その上に質量mの物体Aをのせた装置がある。
物体Aと台Bを,つりあいの位置を中心に鉛直方向に単振動をさせる。
このとき、物体Aが台Bからはなれることがないとすると, AとBは同
じ単振動をする。重力加速度の大きさをgとして,次の各問に答えよ。
(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき,自然長からのばねの縮み
A1はいくらか。
(2)台Bとともに単振動をしている, 物体Aの加m速度aはいくらか。鉛直上向きを正,
Aのつりあいの位置からの変位をxとして,加速度aをxの関数として表せ。
(3)台Bが物体Aを押す力子を, Aのつりあいの位置からの変位xの関数として表せ。
(4)台Bが最高点に達したとき,台Bが物体Aを押す力子がちょうど0になったとする。
このときの単振動の振幅 r。を, M, m, k, gを用いて表せ。
(5) 台Bをつりあいの位置からV2 r。だけ押し下げ、 静かにはなすと, 物体Aは,っり
あいの位置からの変位がx,のところで台Bからはなれた。変位 x1,およびそのとき
の物体Aの速さを, M, m, k,gを用いてそれぞれ表せ。
振動する台上の物体の運動
A
m
B
M
(京都産業大 改)
(3) Aが受ける力は,図の 日 4S
ように示される。Aの運動
方程式を立てると,
(1) 装置全体について,力のつり
指針
あいの式を立てる。
(2) A, Bが一体となって運動しているので, A
とBを一体とみなして運動方程式を立てる。
(3)(4) Aにはたらく力を考え, Aについての運
動方程式から,カfを求める。(4)では,(3)の
A
fa
B
Lmg
ma=f-mg
『=m(g+a)
(9-
k
x
M+m
=m
結果を利用する。
(4) このとき,Aは振動の端に達しており,(3)
の式でx=ro のとき,f=0になったと考えら
(5) AがBからはなれるのは,f=0 のときであ
る。また,単振動におけるエネルギー保存の法
則では,運動エネルギーと復元力による位置エ
ネルギーの和は一定である。復元力による位置
エネルギーは,っりあいの位置からの変位xを
用いて,kx?/2 と表される。
解説
の力のつりあいから,
kAl-(M+m)g=0
れる。
0-m(o-M+m
k
Yo
M+m
g
k
Yo=
(5) AがBからはなれるのは,f=0 になるとき
である。(4)の結果から,変位 x, は,
(1) 装置全体
AkAl
A
M+m
g
k
X=ro=
B
はなれたときのA, Bの速さをvとする。Bを
V2 roだけ押し下げてはなした直後と,AとB
がはなれるときとでは, AとBの単振動のエネ
ルギーの和は保存される。単振動におけるエネ
ルギー保存の法則を用いると,
(mg
MgS
M+m
g
k
A1=
k(41-x)
(2) AとBを一体とみなす
と,変位xのときに受ける
力は,図のように示される。 B
一体とした運動方程式を立
A
(mg
1
Mg:
(/2 ro=たx?+ (M+m)が
2
2
てると,
(M+m)a=k(41-x)- (M+m)g
X;とroに値を代入して, ひを求めると,
M+m
g
k
ひ=
kAl-(M+m)g=0を用いて, a=ー
x
M+m
k
力学
