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水平な台Bを取りつけ, その上に質量mの物体Aをのせた装置がある。
(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき,自然長からのばねの縮み
物体Aと台Bを,つりあいの位置を中心に鉛直方向に単振動をさせる。
Aのつりあいの位置からの変位をxとして,加速度aをxの関数として表せ。
このとき,物体Aが台Bからはなれることがないとすると,AとBは同
振動する台上の物体の運動
発展例題11
発展問題 80,81
A
m
M
k
A1はいくらか。
ムBとともに単振動をしている,物体Aの加速度aはいくらか。鉛直上向きを正。
の台Bが物体Aを押す力/を,Aのつりあいの位立置からの変位xの関数として寿せ。
台Bが最高点に達したとき,台Bが物体Aを押す力子がちょうど0になったとする。
このときの単振動の振幅 roを,M, m, k, gを用いて表せ。
(5)台Bをつりあいの位置からく2 roだけ押し下けげ,静かにはなすと,物体Aは、つり
あいの位置からの変位がx, のところで台Bからはなれた。変位x, およびそのとき
の物体Aの速さを, M, m, k, g を用いてそれぞれ表せ。
(京都産業大 改)
(1) 装置全体について,力のつり
(3) Aが受ける力は,図の
ように示される。Aの運動
方程式を立てると,
指針
あいの式を立てる。
(2) A, Bが一体となって運動しているので, A
とBを一体とみなして運動方程式を立てる。
(3)(4) Aにはたらく力を考え,Aについての運
動方程式から,カげを求める。(4)では,(3)の
結果を利用する。
AがBからはなれるのは,f=0のときであ
る。また,単振動におけるエネルギー保存の法
則では,運動エネルギーと復元力による位置エ
ネルギーの和は一定である。復元力による位置
エネルギーは,つりあいの位置からの変位xを
用いて, kx?/2 と表される。
Af
A
B
ma=f-mg
mg
f=m(g+a)
T8
ーm(g-m)
M+m
(4) このとき, Aは振動の端に達しており,(3)
の式でx=roのとき,f=0になったと考えら
れる。
0-m(a-m)
k
M+m
Yo=
M+m
k
(5) AがBからはなれるのは,f=0になるとき
である。(4)の結果から,変位x,は,
M+m
解説
(1) 装置全体
ARAI
A
の力のつりあいから,
kAl-(M+m)g==0
X;=ro=-
k
B
mg
Mgと
はなれたときのA, Bの速さをかとする。 Bを
V2 r。だけ押し下げてはなした直後と, AとB
がはなれるときとでは, AとBの単振動のエネ
ルギーの和は保存される。 単振動におけるエネ
ルギー保存の法則を用いると,
M+m
A=-
k
(2) AとBを一体とみなす
A
k(AI-x)
と,変位xのときに受ける
力は,図のように示される。
一体とした運動方程式を立
B
mg
Mg:
4(/Zド=ラ+(M+m)p"
てると,
(M+m)a=k(41-x)- (M+m)g
x,とんに値を代入して, ひを求めると,
k
kAl-(M+m)g=0を用いて, a=ー
M+m
g
k
リ=
M+m
