必開や54.くたてばねによる単振動〉
図1(a)は,ばね定数 k, 自然の長さLの軽いばね
(質量は無視できるものとする)を鉛直に立てたとこ
ろを示す。このばねに質量 mの薄い台を取りつけ,
台の上に質量Mの小さな物体を静かに置くと, 図1 (b) L
に示すようにばねは自然の長さからdだけ縮んでつり
あった。この位置をつりあいの位置とする。つりあい
の位置から台を軽く押し下げて手をはなすと物体は台
に乗ったままで振動するが, 強く押し下げて手をはな
すと物体は台から離れて鉛直上方に飛び出す。
ばねは鉛直方向のみに運動するとし, 重力加速度の大きさをgとして次の問いに答えよ。
(1)ばねの縮んだ長さdを求めよ。
(2) 図1(c)に示すように, つりあいの位置から手で台をsだけ押し下げた。 このとき手が台
を押している力の大きさ F。 をん, s, gのうち必要なものを用いて表せ。
つりあいの位置から手で台を押し下げた長さ sが十分に小さいとき手をはなすと, 物体と
台は一体となって振動する。 なお, x軸はつりあいの位置を原点とし, 鉛直上方を正にとる。
(3) つりあいの位置からの変位がxのとき, 物体と台にはたらく力Fを求めよ。
(4) このときの振動の周期Tを求めよ。
次に,押し下げた長さ sが十分に大きいとき, 物体は台から離れて鉛直上方に飛び出す。
物体が台から離れる変位を xo とすると, つりあいの位置からの変位xがxoに達するまで,
物体と台はともに加速度αで鉛直上方に運動する。
このとき,物体は台から垂直抗力Nを受け, その反作用とし
て台は物体から-N の力を受けているとする。
(5)物体の運動方程式と台の運動方程式をそれぞれ求めよ。
(6)垂直抗力Nを m, M, d, x, g のうち必要なものを用いて表
せ。また,導き方も記入せよ。
(7) 垂直抗力Nを変位×の関数として, 図2にグラフを示せ。
ただし, s>d とする。
(8)物体が台から離れるときの変位 xoを求めよ。
(9)物体が台から離れるときの物体の速さ vo を求めよ。 また, 導き方も記入せよ。 ただし,
m=M, s=2d とし, 答えはM, k, gのうち必要なものを用いて表せ。
ばね
物体
図1
図2
N
3Mg
|2Mg
Mg
0
S
[広島大)
000。
