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数学 高校生

(2)で、何をどうやって(1)の結果を使って波線のような答えにしたんですか?

基本 例題 46 有理数と無理数の関係 200000 a,b は有理数とする。a+b√2=0 のとき,√2 が無理数であることを 用いて, a=b= 0 であることを証明せよ。 (2)(1+√2)x+(-2+3√2) y=10 を満たす有理数x,yの値を求めよ。 CHART & THINKING 基本44 (1) 直接証明するのは難しいから、背理法を利用しよう。結論の否定は 「a≠0 または b≠0」であるが,この仮定からスタートする必要はない。a+b√2 = 0 という式に注目し、 最初の仮定を見極めよう。 (2) √2について整理して、 (1) の結果を利用する。 このとき、 前提条件 「x,yは有理数, √2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。 解答 どり (1) b=0 と仮定すると √2=- a b a,bは有理数であるから,右辺の // は有理数である。 左辺の√2 は無理数であるから,これは矛盾している。 a+b√2=0 に 6=0 を代入して a=0 よって b=0 a+b√2=0 から b√2=-a 両辺を b(0) で割ると √2=-5 このことから,最初の仮 定は≠0 だけでよい。 したがって a=b=0 1.84 (2) 与式を変形して (x-2y-10)+(x+3y)√2=02について整理。 x, yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数でこの断りは重要。 あり√2 は無理数である。 ゆえに、 (1) の結果から これを解いて 1 x-2y-10=0, x+3y= 0 x=6,y=-2 詳しくは右ページ参照。

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数学 高校生

[2]や[3]の式にある3C1、4C2は、どういう意味ですか?

420 基本例 例題 54 平面上の点の移動と反復試行 右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。 地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ >?? 向かう。このとき、途中で地点Pを通る確率を求めよ。 00000 P 北4 ただし,各交差点で,東に行くか、北に行くかは等確率と し、一方しか行けないときは確率でその方向に行くも A 重 右図 出た 出別た 基本 52 重要 55 れ のとする。 指針 求める確率を A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 5C2X2C2 から, 7C3 とするのは誤り! これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率 が異なる。 例えば,A111→→P→→Bの確率は C D P B 1 1 1 222 -.1.1.1.1=- 1 8 A→1→↑↑P→Bの確率は 2 2 2 2 1.1.1.1.1.1.1-32 A したがって, P を通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。 どの地点で初めて一番上の道路にぶつかるか 右の図のように, 地点 C, D, C', D', P' をとる。 C D P B 解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに 排反である。 C' D' P' 確率がに [1] 道順 ACC P 変わるタイミング (C.P.P) この確率は1/2×12×1/2×1×1=(1/2)=1/23 [2] 道順 A→D'DD→P この確率は C.(1/1)(1/2)x1/2×1=3(1/2)-16 [3] 道順 AP′'→P A 6 この確率は × =61 2 32 1 3 6 16 1 よって, 求める確率は + + = 8 16 32 32 2 18 [1] 111→→ と進む。 [2] ○○○↑と進む。 ○には,1個と2個が 入る。 [3] ○○○○↑と進む。 ○には, 2個と 12個が 入る。 練習 右の図のような格子状の道がある。 スタートの場所か ③ 54 ら出発し,コインを投げて,表が出たら右へ1区画進 み裏が出たら上へ1区画進むとする。 ただし, 右の 端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かな いものとする。 スタート (1)7回コインを投げたときに, Aを通りゴール ゴール A

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数学 高校生

なぜ赤丸の問題と青丸の問題の下線部の不等号が違うんですか?

60 基本例順 33 1次不等式の整数解 不等式 6x+8(6-x)>7 を満たす2桁の自然数xの個数を求めよ。 (2) 不等式 5(x-1)<2(2x+α) を満たすxのうちで、 最大の整数が6であ るとき、定数αの値の範囲を求めよ。 CHART & THINKING 1次不等式の整数解 数直線を利用 まずは、与えられた不等式を解く。 (1) 2桁の自然数 →x10 基本29.32 これと不等式の解を合わせて、条件を満たす整数xの値の 範囲を 10≦x≦n の形に表す。 この不等式を満たす整数の個数は? (2) 不等式の解は x<A の形となる。数直線上で A の値を変化させ,x<Aを満たす最大 の整数が6となるのはAがどのような値の範囲にあるかを 考えよう。→x=6 は x<A を満たすが, x=7 は x<A を満たさないことが条件となる。 WA 6 A 7 I 解答 (1) 6x+8(6-x)>7 から -2x-41 ゆえに x< -=20.5 2桁 xは2桁の自然数であるから 21 10≦x≦20 求める自然数の個数は + 1011 20 41 x 2 展開して整理。 不等号の向きが変わる。 吟味。 20-10+1=11 (個) (2)5(x-1)<2(2x+α) から x<2a+5. ・① ①を満たすxのうちで最大の整数が6となるのは 6 <2a+5≦7 のときである。 ゆえに 1<2a≤2 6 2a+5 7 x よって1/12<as1 ①を満たす最大の整数 展開して整理。 6<2a+5<7 とか 62a+5≦7 などとし ないように。 等号の有 無に注意する。 a=1のとき, 不等式は <7で、条件を満たす。 すべての a=1/2 のとき,不等式は <6で、条件を満たさ ない。 を別です 10=20-10 20 くいで HERT, SH 03 a=

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