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うる値の範囲を求めよ.
(3) 球面Cと直線1が異なる2点P,Qで変わるようなαのとり
基礎問
262 第8章 ベクトル
168 球と直線
座標空間内に, 球面C:x+y+z=1 と直線があり、直線
1は点A(a, 1, 1)を通り, u = (1, 1, 1) に平行とする.また,
a1とする。このとき,次の問いに答えよ.
(上の任意の点をXとするとき,点の座標を媒介変数を
用いて表せ
(2) 原点Oからに下ろした垂線との交点をHとする.Hの座
標をαで表し,OH を αで表せ.
(2) Hは上の点だから, (1) を用いて
OH=(t+a, t+1, t+1)と表せる.
ここで,OH だから,
OH・ü=t+a+t+1+t+1=3t+α+2=0
H
3
2a-2
た 1
t=-Q+2
このとき,t+α=
3 t+1=q+1
よって、(24/2g+q+1)
2a-2 -a+1
3
3
また, OH2=-
9
(29-2)2
=14/01(1-1)+1/2 (a+1)+1/18(
(-a+1)2
(デ
=
(a-1)2
(4) (3) のとき,∠POQ=
となるαの値を求めよ.
1 33 2点間の距離の公式
2
(1) A (No, Yo, Z0) を通り, ベクトル u = (p, q, r) に平行な直
a≧1 だから,OH=6l4-1=
(3) OH<1 だから 6
3
√(a−1)
√A²=\A\
3
(a-1)<1
: 1≦a<1+k
tu
√6
2
◆仮定に a≧1 がある
1
H
線上の任意の点をXとすると
OX = (No, yo, zo)+t(p,g,r)
とせます.
(2)日は上にあるので, (1) を利用すると, OH がαと
tで表せます。 そのあと, OH･Z =0 を利用して, t
をαで表します.
(3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき
OH<半径
が成りたちます.
(4)POQ=2をOP・OQ=0 と考えてしまっては,タイヘンです.
0
それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから
です。座標やベクトルの問題では、幾何の性質を上手に使えると負担が軽く
なります。
解答
(1)OX=OA+tu=(a,1,1)+(t,t,t)=(t+a, t+1, t+1)
:.X(t+α, t+1, t+1)
(4)POQ= だから, OH=
√2
-(4-1)=-
/3
3
a=1+
2
2
ポイント
中心 (a, b, c), 半径の球面の方程式は
演習問題 168
(x-a)+(y-b)2+(z-c)2=r2
いい
168において,
(1)POQ=7 となるようなαの値を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さが最大になる点Aに対して, 球面C上の動点R
をとり, 線分AR を考える 線分ARの長さを最小にする点Ro
の座標を求めよ.
第8章
