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独台受験
リーフ
に。物理入
改訂限
216一数学I
9(x)は微分可能な関数であるから, 連続な関数である。
g(0)=0
山本義隆 著
そ微分可能
よって
limg(x)=g(0)
S(0)=2+g(0)="2
そlx) #ェ
合imdx
ゆえに
オー0
P(x)=-cos.xr+xsinx+g'(x)
g(x)
したがって
また
ゆえに
そx=0を代。
P(0)=-1+g(0)
(2) 両辺の自然社
両辺をxで微分
ゆえに
g(0+x)-g(0)
=lim
x
g(x)
=lim
を執分係数の
なお、0-
g'(0)=lim
x
x→0
x→0
→0
=1-0=0
S(0)=-1+0=イー1
実数全体で定義された2つの微分可能な関数f(x), g(x) は次の条件を満たす。
(A) (x)=g(x), g'(x)=f(x)
(1) すべての実数xに対し, {F(x)}°-{g(x)}°=D1が成り立つことを示せ。
ie
(nia+D
よって
よって
EX
(3) 両辺の自然
(B) f(0)=1, g(0)=0
121
両辺をxで各
(2) F(x)=e-*(x) +g(x)}, G(x)3e"{S(x)-g(x)} とするとき, F(x), G(x)を気。
(3) F(x), g(x)を求めよ。
(1) H(x)={F(x)}-{g(x)}°とする。
H(x)=2f(x)f(x)-2g(x)g°(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0
ゆえに,H(x) は定数である。
よって
H(0)={F(0)}°-{g(0)}°=1°-0°=1
すなわち
そH(x)=H-
数)
EX
123
ここで
次の
よって
H(x)=1
{f(x)}°-{g(x)}?=1
(2) F(x)=-e*{F(x)+g(x)}+e-*{S (x)+g'(x)}
=-e-*{f(x)+g(x)}+e*{g(x)+f(x)}=0
←条件(Aから、
エ→0
ゆえに,F(x) は定数である。
ここで
F(0)=1·{f(0) +g(0)}=1
また G(x)=e*{f(x)-g(x)}+e*{f°(x)-g(x)}
=e*{S(x)-g(x)}+e*{g(x)-f(x)}=0
よって
F(x)=1 -F(x)%=F{0)
ゆえに,G(x) は定数である。
ここで
(3) F(x)=1 であるから
(2) lir
G(0)=1-{f(0)-g(0)}=1
X-
よって
G(x)=1
そG(x)=G(0)
そ(2)の結果を期
e-{f(x)+g(x)}=1
=li
すなわち
(x) +g(x)=e*
の
e*{f(x)-g(x)}=1
G(x)=1であるから
すなわち
そ(2)の結果を得
f(x)-g(x) =e-*
0,2から f(x) =te" alx)= e"-e
参考 このfは(3)
を双曲線関数とい
(本冊p.264参照
2
9(x)= e*-e-*
EX 次の関数を微分せよ。 ただし、 x>0 とする。
の122 y!
2
商業医大)(2) y=xsint
(1) 両辺の自然対数をと
【信州大)
(3) y=x*
2
)のとき
II
定対散
ーパ ライT
