例題
2
整式 f(x) について, 恒等式 f(x2)=xf(x+1)-2x+2x2が成り立つ
とする。
(10)(1), f (2) の値を求めよ。
(2) f(x) の次数を求めよ。
〔東京都立大〕
(3) f(x) を決定せよ。
(2)f(x)の次数をとし, 恒等式の次数の関係からnを決める。
(1)(2)の結果を利用し, f(x) を具体的な式で表す。
解答 (1) 与式に, x=0 を代入すると
f(0)=0
x=-1 を代入すると
f(1)=-f(0)-2+2
x=1 を代入すると
f(1)=f(2)-2+2
よって
(1)=0劄
よって
f(2)=0
(2) f(x)=0 (定数) とすると, 0=x ・0-2x+2x2となり, 恒等式が成り立たない。
f(x) の次数をnとする。
(1) より f(x) はx, x-1, x-2を因数にもつから
n≥3
2n=3+n
ゆえに
n=3
これは,n≧3を満たす。
よって, 恒等式の両辺の次数の関係から
したがってf(x) の次数は 3答
(3)(1),(2)から,f(x)=ax(x-1)(x-2) (α は定数) と表せる。
ax2(x2-1)(x-2)=x^{a(x+1)x(x-1)}-2x+2x2
恒等式から
両辺の係数を比較すると
-3a=-a-2, 2a=2
よって
a=1
したがって
f(x)=x(x-1)(x-2)=x-3x²+2x 圏
