(1)im/([1]+[1]) を求めよ。 ただし, [x] は x を超えない最大の整
数を表すものとする。
2"
≤2.
n!
n-2
2"
(2)3以上の自然数nに対して 2-(2) を示し, lim を求めよ。
ガウス記号 [x]や階乗n! を含み, 直接考えにくい。
non!
Action》 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理を用いよ
風のプロセス
(1)(+6)
|をつくりたい。
定義に戻る
・極限値が一致する 2式
(2)逆向きに考える
結論
2.2.2.2
1･2･3･4･･
個
.....
個
2.2
(n-1)n
[x]≦x<[x]+1 より
n-1個
x-1<[x]≦x
2･2･2･････2･2
を示せばよい。
3・3·····3・3
n-2個
3･4･･...(n-1)n ≧3･3･････3･3 を示せばよい。
解 (1) x-1<[x] ≦ x であるから
[x]の定義より
[x]≦x<[x]+1
①+② より
5
n- ·2<
<[4] + [1/8]
n
1<
2
[#]
n
n
n
n
.. 1,
1<
2
3
① ② の辺々を加えて, その辺々をn (0) で割ると
5
2
17
>
n
n
1/([1]
n
n
+
])
≤
5
6
5
2
ここで, lim
=
n→∞ 6
n
5
6
であるから, はさみうちの
n
n
原理より lim
(2)n≧3のとき
+
=
n→∞ n
2
3
n-2個
2"
2･2･2･2････
n!
1･2･3･4･
2"
n-2
2
題
¥7
よって 0 <
2.
n!
2
n-2
n-2
2･2 2･2･
1.2 3.3
=2·
ここで, lim2.(1/2)
VII
5-6
n
n-2個
3･4･･･n≧3･3･･･3
より
2･2･･･2
2･2･･･2
3･4･･･n
3･3･･･3
= 0 であるから, はさみうちの
|r| <1のとき
limy"0
1-80
2"
原理より
lim
= 0
non!
