131 群数列 (I)
1から順に並べた自然数を,
12,34,5,6,718, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16
のように,第n群(n=1, 2, ...) 2-1 個の数を含むように分け
る.
(1) 第n群の最初の数をnで表せ.
(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ.
(3)3000は第何群の何番目にあるか .
精講
ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数
列を考えるときは,
「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」
と考えます.このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数
に着目します。
解答
(1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて 各群の最後の数が基
(1+2+... +2-2) 項目 .
準
すなわち, (2^-1-1) 項目だからその数字は
等比数列の和の公式
を用いて計算する
2n-1-1
よって,第n群の最初の数は
(2"-1-1)+1=2n-1
(2)(1)より,第n群に含まれる数は
初項 2"-1, 公差 1 項数 2 の等差数列.
よって、求める総和は
1/12・2"-1{2・2"'+ (2"-1-1)・1
=2"-2(2・2"-1+2"-1-1)=2"-2(3・2"-1-1)
(別解) 2行目は初項 2"-1, 末項 2"-1, 項数 27-1 の等差数列と考えて
もよい。
