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基本 例題39 2つの2次方程式の解の判別
OOOO0
kは定数とする。次の2つの2次方程式
xーkx+k°-3k=0
について,次の条件を満たす&の値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) O, 2のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。
(2) 0, ののうち,一方だけが虚数解をもつ。
の,
(R+8)x?-6x+k=0
2章
基本 38
指針>のについては,2次方程式であるから,?の係数について,k+8キ0 に注感。
0. のの判別式をそれぞれ D.,D:とすると,求める条件は
(1) D<0 または D:<0 → 解を合わせた純認(和集合)
(2)(D.<0かつ Dz20)または(D,20かつ Dく0)であるが、独学1でも学習したように,
D、<0, D:<0 の一方だけが成り立つ 範園を求めた方が早い。
改訂版チャート式基礎からの数学1+A p.184参照。
CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
解答
の2次の係数は0でないから k+8キ0 すなわち kキー8
このとき,O, のの判別式をそれぞれ D., D: とすると
D、=(-k)-4(k?-3k)=-3k?+12k=-3k(k-4)
(普通,2次方程式
ax°+bx+c=0というとき
は,特に断りがない限り,
2次の係数aは0でないと
D2
リ=(-3)°-(R+8)k=-°-8k+9=-(k+9)(k-1)
4
考える。
(1) 求める条件は,たキー8のもとで
D、<0 または D:<0
D<0から k(k-4)>0
kキー8であるから
ゆえに く0, 4<k
た
kく-8, -8<k<0, 4<k
3
D<0から(k+9)(k-1)>0
の
Rく-9, 1<k
求めるたの値の範囲は,3とのの範囲を合わせて
kく-8, -8くんく0, 1<k
よって
-9 -8
01 4
(2) 0, 2の一方だけが虚数解をもつための条件は,
D.<0, D<0の一方だけが成り立つことである。
ゆえに,3, Oの一方だけが成り立つたの範囲を求
-9SRく-8, -8<k<0, 1くk<4
-9 -8
01
めて
0, x°+3x+3a=0
のについて,次
練習
2次方程式x°+4ax+5-a=0
39の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
(1) 0, のがどちらも実数解をもたない。
(2) 0, 2の一方だけが虚数解をもつ。
【久留米大)
(p.71 EX27.28
G k 2次方程式の解と判別式
