位置ベクトルと内積 なす角
重要 例題 59
1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=1, AC=c, AD=d とする。
辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし,線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 と
する。
(1) AN, AG, BG をそれぞれ, c で表せ。
(2) GAP, GA・GB をそれぞれα を用いて表せ。
指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。
(2) |GA|=|AG|=AG•AG, GA・GB=AG･BG (1) の結果を利用して計算。
(3) GA・GB=|GA||GB|cose
であることに注目すると |GA|=|GB|
よって, ① は GA･GB=|GA | cos 0 となるから, (2) の結果が利用できる。
解答
(1) AN=1/12(c+d)
BG=AG-AB=-(-36+c+d)
(2) 16|GA|=|4AG|²=(b+c+d)·(b+c+d)
AG=1/12(AM+AN)=1/11/1235+1/12(c+d)}=1/28(6+c+d)
= 16+|+|a³²+2(b⋅c+c•à+à.b)
=3a²+2×3a²cos 60°=6a²
16GA-GB=4AG•4BG=(b+c+d)•(−3b+c+d)
·−3|b1²+|c²²+ |āl²-2b-c-2b-d+2c-d
=-a²-2a²cos60°=-2a²
よって
(3) AM=BM, AN=BN であるから
ゆえにIGA = GBであるから
|GA=22α, GA-GB=--
ここで, △ABN は AN=BN の二等辺三角形
a²
8
AB MN
GA-GB=|GA||GB | cos0=|GA | cos
ゆえに
a²
(2)から2012/23acost
-a²
8 8
(3) cose の値を求めよ。
[類 熊本大] 基本50
cos0=
1
3
B'
M
A
C
ä
として計算。
40=
<|AN|=|BN|=
(GA・GB = -
◄|6|=|č|=|ã|=a †5
b·c=c∙d=d.b
D
N
=a² cos 60°
分数の計算を避けるため、
4AG=6+c+d,
4BG=-36+c+d
a²
√√3
a
473
8'
|Gó²=a² ±¤Ã.
2章
9 位置ベクトル、ベクトルと図形
