の 極限
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基本 例題105 数列の極限 (4)
はさみうちの原理1
COS nπ
(1) 極限 lim
を求めよ。
72→00
1
(2) an=
1
n?+2
1
とするとき, liman を求めよ。
n+1
n?+n
→0
4章
AD.174 基本事項 [3]
指針> 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 の利用を考える。
14
数
はさみうちの原理 すべてのnについて anハC<b, のとき
列
lim a,=lim b,=α ならば limc,3Dα (不等式の等号がなくても成立)
カー
カ→
n→0
COS n元
(1) anS
77
くbnの形を作る。それには, かくれた条件 -1<cos0<1 を利用。
THAHO
におき換えてみる。
11
(2) く(k=1, 2, ……, n) に着目して, a,の各項を一
n+k
CHART
求めにくい極限不等式利用で はさみうち
解答
1。
1
COS nπ
(1) -1%cosnπ三1であるから
各辺をnで割る。
n
n
n
『 lim--=0, lim =0であるから
COS nT
lim
はさみうちの原理。
=0
2-0
n
n→ n
u
o-4
1
(2) く(k=1, 2, …, n) であるから
n*+k>n°>0
n+k
n
1
1
An=
n+1
n?+2
n+n
1
1
1
*n=
2
n?
各項を
でおき換える。
n
n
n'
1
よって 0<a.<-
lim
=0であるから liman=0
40SlimanS0
れ→0
n→0
n→0 7
mgtamiz
検討はさみうちの原理を利用するときのポイント
はさみうちの原理を用いて数列 {cn} の極限を求める場合, 次の ①, ②の2点がポイントとなる。
0 anSCnSb,を満たす2つの数列 {an}, {6,} を見つける。
2つの数列 {a}, {6,} の極限は同じ (これを αとする)。
なお, ① に関して, 数列 {an}, {bn} は定数の数列でもよい。
0, ②が満たされたとき
lim c,=α
(2
n→0
