-
![]()
(ば虚数単位)とおく。
7
8(2) a=2tz+z"とするとき,α+α, aα および αを求めよ、ただし、α はaの失
+I SII
7
COS
さい。
りla 1o0
(1)&+z+z+z'+z°+°を求めよ。
第1章 複素数平面
したがって
役複素数である。
a=z+z"+z=z°++ (: =2=, =(2)=z)
)(1-2)(1-z")(1-2")(1-z')(1-2°)(1-z°)を求めよ
となり,(1)の結果を用いて
(千葉大)
α+a=(z+z+z')+(z°++z)=-1
思考のひもとき
また
1. 複素数2, wに対して
ax=(z+z°+z')(2"+2°+2)
=(z'+z+z)+(z°+z?+z)+(2?+2+z®)
2+w=z+w, zw=z·w
2 nが自然数のとき
=(z+2++z++)+3=2 (": (1)の結果)
そこで、解と保係数の関係を用いると、a, aは
解答
+t+2=0 ③
2元
とおくと, 70=2r であるから,ド·モアプルの定理を用いると
の2解である。
* 、ー 店井とは
で判断る。
-1土7i
t
3を解くと
27=(cos0+isin0)?
2
2kn
+isin
7
2kn
cos 70+i sin 70
ここで,2=cos
(kは整数)だから
7
= cos 2π+isin 2π=1
2元
4元
+ sin
+ sin
8元
Pe endanla=sin号+ +等一 an等+an等一皿号
(: 0<an号くn等, 等>)
2元
= sin
7
4元
+ sin
7
. 2=1 … ①
ここで,27-1=(z-1)(2°+k°+z'+z°+z°+z+1)であるから, ①より
Tπ
<sin
2℃
sin
7'
4T
(2-1)(2+z+'t++z+1)=0
であるから
2π
-1+7i
2元
+isin
7
-キ1であるから, ②より
ス= COS
α=
7
2
2+2+z'+z++z+1=0
(1-2)(1-2)(1-z')=1°-(z+ポ+2).1°+(++)-1-2
2+2++z++=-1
=-a+a
(1-2)(1-2)(1-)=1°- (+z+2)·1°+(2+で+z)·1-2
-メ-ス
(2) α=z+z+z'のとき
α=z+z°+z
=ーa+a
=z+z}+2
(:: +z°+z"=z+2+z=d)
=z+(z)+(z)
であるから
22=|2P= cos°0+ sin°0=1であるから, ①より
=-(α-a)=-(a+a}+4aa
=ー(-1)°+4-2=7
27
1
2=
2
15
