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数学 高校生

58.2 記述ってこれでも問題ないですよね??

388 00000 基本例題 58 条件付き確率の計算 (2) … 場合の数利用 〔類 センター試験] 3個のさいころを同時に投げ, 出た目の最大値を X, 最小値をYとし,その差 X-Y を Z とする。 (1) Z=4 となる確率を求めよ。 (2) Z=4 という条件のもとで, X=5となる条件付き確率を求めよ。 A13EUS SEDI p.385 基本事項① ) 指針▷ (1) 1≦X≦6, 1≦Y≦6 から, Z=4 となるのは, (x,y)=(5,1),(6,2)のときである。 この2つの場合に分けて, Z =4 となる目の出方を数え上げる。 (2) Z=4 となる事象をA,X=5となる事象をBとすると, 求める確率は条件付き確率 PA(B) である。 (1) でn(A), n(A∩B) を求めているから PA (B)= を利用して計算するとよい。 この場合の数は ACASSUNG 解答 BOA (1) Z=4 となるのは, (X,Y) = (5,1), (62) のときである。 Z = X-Y=4から [1] (X,Y)=(51) のとき X=Y+4 このような3個のさいころの目の組を、目の大きい方から 順にあげると,次のようになる。 (5,5,1),(5, 4,1),(5,3,1), (5, 2,1), (5,1,1) n(ANB) n(A) 3! 2! POINT ←全体をAとしたときの A∩Bの割合 [(8/8)=(8) 3! +3×3! + =24 2! [2] (x,y)=(62) のとき [1] と同様にして, 目の組を調べると (6, 6, 2), (6, 5, 2), (6, 4, 2), (6, 3, 2), (6, 2, 2) この場合の数は 3! 2! 3! +3×3! + =24 2! 条件付き確率はPA (B) = ank 以上から, Z=4 となる場合の数は 48_2 よって, 求める確率は 63 9 (2) Z=4 となる事象をA, X=5となる事象をBとすると, 求める確率は PA (B)= n(ANB) 24 1 n(A) 48 2 24+24=48 (通り) P(A∩B) P(A) d X≦6 であるためには = 1 または Y=2 組 (5,5, 1) と組 (5,1,1) については,同 じものを含む順列を利用。 (同じものがない1個の数 が入る場所を選ぶと考えて, 3C1 としてもよい。) 他の3組については順列を 利用。 PA(B) P(A∩B)n(A∩B) P(A) ħP₁(B)= n(A^B) 練習 958 の積を5で割った余りをYとするとき、次の確率を求めよ。 (1) X = 2 である条件のもとで Y=2である確率 IZ -?である条件のもとでX=2である確率 n(A) $3G3MS n(A) で計算 2個のさいころを同時に1回投げる。 出る目の和を5で割った余りを X, 出る目 (m 395 EX43」

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数学 高校生

51.2 写真のように考えたのですが、答えとは違いました。 なぜ解答のように([すべて6以上]-[すべて7以上])で求めるのですか? (ちなみに、最小値が6より必ず1枚は6が出て、残りの2枚は6以上であればいい。6以上のカードは5枚なので 3C1×1×5×5/10×10×1... 続きを読む

378 0000 基本例題 51 最大値・最小値の確率 箱の中に, 1から10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードが入ってい この箱の中からカードを1枚取り出し, 書かれた数字を記録して箱の中に戻す。 この操作を3回繰り返すとき, 記録された数字について,次の確率を求めよ。 (2) 最小値が6である確率 (1) すべて 6以上である確率 (3) 最大値が6である確率 基本 (2) 指針>「カードを取り出してもとに戻す」ことを繰り返すから、反復試行である。 (1)6以上のカードは5枚あるから, "Crp" (1-b)"-" で n=3,r=3, カ ON (2) 最小値が6であるとは、 すべて6以上のカードから取り出す がすべて7以上となることはない,ということ。 つまり, 事象A: 「すべて6以上」から、事象B : 「すべて7以上」 を除いたものと考えることができる。 (3) 最大値が6であるとは,すべて6以下のカードから取り出す がすべて5以下となることはないということ。 解答 (1) カードを1枚取り出すとき, 番号が6以上である確率は 5 1 10 2 (2) 最小値が6であるという事象は、 すべて6以上であるとい う事象から、 すべて7以上であるという事象を除いたものと 考えられる。 カードを1枚取り出すとき, 番号が7以上である確率は 4 したがって 求める確率は 10 --.C.(1)(1)=(1)-(1)= (3) 最大値が6であるという事象は、すべて6以下であるとい う事象から、 すべて5以下であるという事象を除いたものと 考えられる。カードを1枚取り出すとき 1 8 POINT 番号が6以下である確率は 6 10' したがって 求める確率は であるから 求める確率は SC (12/2)^(1/21)-1/28 直ちに (12)-12とし 3 C3 = もよい。 4 5³-4³ 103 5以下である確率は 5 10 6 (5)-(5)- 6³-5³ 216-125 91 103 1000 1000 61 1000 5 10 練習 ②51 (1)出る目がすべて3以上である確率 (3)出る目の最大値が3である確率 1個のさいころを4回投げるとき、次の確率を求めよ。 最小値が 6以上 最小値が 以上 最小値が 6 後の確率を求める計算が やすいように、約分しない でおく。 (すべて6以上の確率) (すべて7以上の確率) (1)の結果は1 であるが、 計算しやすいように -(1)-(2) (すべて 6以下の確率) (すべて5以下の確率) (最小値がんの確率) (最小値がん以上の確率) (最小値がk+1以上の確率 とする (2)出る目の最小値が3である Cp. 384 EX 基 x に次は (1 (2 指針 O (1) d (2) 2 5

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数学 高校生

114. この問題の記述にグラフは必要ですか? (答えを考える時に作図しましたが、記述として丁寧にグラフを書くのは面倒だな、と感じました。)

0 の に凸の放物 ある条件と同じ 基本例題 14 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件 00000 0≦x≦8のすべてのxの値に対して, 不等式x-2x+m+60 が成り立つよ うな定数mの値の範囲を求めよ。 [類 奈良大〕 ■基本 79 に接する。 ある条件と ではなくD 指針 この問題ではxの変域に制限があるから、 例題 113と同じように考えてはダメ! そこで、問題をグラフにおき換えてみると、求める条件は 「0≦x8 の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」 「ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。 ・・・・・・・・・ CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える 解答 求める条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6の最 小値が正となることである。 または「任意ゆえに m+6>0 等式が成り立つ、 雪が、すべての f(x)=(x-m)"-m²+m+6であるから、軸は直線x=m [1] m<0のとき, f(x)はx=0 で最小 [1] となり, 最小値はf(0)=m+6 よってm>-6 <0であるから(*) -6<m<0.... ① [20≦m≦8のとき, f(x)はx=mで最 小となり, 最小値は f(m)=-m²+m+6 ゆえに m²+m+6>0 すなわち m²-m-6<0 これを解くと, (m+2)(m-3)<0 から -2<m<3 [3] 0≦m≦8であるから(*) 0≦m<3 ...... ② m [3]8<m のとき, f(x)はx=8で最小 となり, 最小値はf(8)=-15m+70 [2] ゆえに,15m+70> 0から m< 3 これは8<m を満たさない。 (*) 求める の値の範囲は ① ② を合わせて POINT 08 0m8 m 140 8 x -6<m<3 f(x) の符号が区間で一定である条件 区間でf(x) > 0 区間でf(x)<0 0 x <f(x)=x2-2mx+m+6 (0≦x) の最小値を求め る。 → p.130 例題 79 と同 様に,軸の位置が区間 0≦xの左外か,内か. 右外かで場合分け。 [1] 軸は区間の左外にあ るから、区間の左端 (x=0) で最小となる。 [2] 軸は区間内にあるか ら, 頂点 (x=m) で最小 となる。 [3] 軸は区間の右外にあ るから 区間の右端 (x=8) で最小となる。 (*) 場合分けの条件を満た すかどうかの確認を忘れずに。 [1], [2] では共通範囲をとる。 合わせた範囲をとる。 [区間内のf(x)の最小値] > 0 [区間内のf(x)の最大値] <0 181 3章 13 2 次不等式

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