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重要 例題249 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用)
は2以上の自然数とする。次の不等式を証明せよ。
12
log(n+1)<1+1/3+1/1/3 1
n
指針 数列の和 1+ 11/13 +
+
すなわち, 曲線 y=
証明する｡
•k+1 dx
k
よって
ck+1
5x+¹ dx < 1/1/20
k
x
k
1
k+1
n-1Ck+1
解答
自然数んに対して, k≦x≦k+1のとき y
1
2+1 = = = = /14
1
k
1
2
=
常に 121211/1/28または1/12/11/1/18 ではない
=
k+1
x
k
k+1dx
から
n
k+1
k+1 <S^^
Ok
であるから
x
•k+1 dx
x
ck+1dx
+
<
Aから
n 1
k=1Jk
k
k=1
1n+1
n+1
n
Ck+1
2S¹¹ dx =* dx = [logx]"*
E=S"+
k=1Jk
xC
1
=log(n+1)
log(n+1)<1+
k+1
dx
<SH+¹( Cから
k
n
Sie
k
+.. ・+ <logn+1
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して,不等式を
Ck+1dx
k
は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借りる。
で区間1
だから、
この不等式の両辺に1を加えて
よって, ①,②から, n ≧2のとき
tex
1
+ +
2 3
yA
0 123…. fn x
n-1 n+1
y=
Swithdx="x=log.x=logn であるから
10g
1 X
x
1
LI
I
100
0 123… n
n-1
n
式ア
n-1
F₁R+1 <=Sh²
k=
n_1ck+1dx
①
18
18
2
x
基本 245,248
1 1
1+ + + ・+
2 3
log(n+1)<1+1/+1/1/3
n
1
k
YA
+
1
k+1
O
VIA
+
*n+1
k
{2}
k+1
RT
<logn+1
+
演習 254
1
+ +…….+ <logn
1
3
2
1
n
205
Ak=1,2,.., n と
して辺々を加える。
Ck+1 dx
x
k+1
k
Cn+1
+ ··· + √₂
区間の定め方?
で k=1,2,
として辺々を加える。
1
n
27
x
413
7章
36
定積分と和の極限、不等式
のちに
1を加えて
帳尻を合わ
せる?
<logn+1 六にするの
