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y=x
出
日本内
35 an+1= pant (nの1次式) 型の漸化式
=h, an+1=3an
+4nによって定められる数列{an)の一般項を求めよ。
このような場合は,
00000
基本 34
p.464 基本例題 34 の漸化式anti=pan+αで, gが定数ではなく, nの1次式となっ
ている。
を消去するために 階差数列の利用を考える。
漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり,階差数列 {an+1 - an} についての漸化式を処理する。
また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1) ②
②①から
......
an+2-an+1=3(an+1-an)+4
an+1-a=bn とおくと
これを変形すると
また
bn+1=36+4
bn+1+2=3(6+2)
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{bn+2}は初項 8, 公比3の等比数列で
+2=83-1 すなわち bn=8・3"-1-2
y=x
n≧2のとき
n-1
an=a+
W"
(8.3k-x-2)=1+
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
467
差を作り, nを消去する。
{6}は{an}の階差数列。
α=3a+4から α=-2
a2=3a+4・1=7
(*)
n≧2のとき
8(3-1-1)
n-1
-2(n-1)
an=1+26
k=1
3-1
=4・3"-1-2n-1
......
③
n=1のとき
4.30-2-1-1-1---8-8-8-
α=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.3-1-2n-1
①初項は特別扱い
(*) を導いた後, An+1-an=8・3"-1-2 に ① を代入して am を求めてもよい。
1
漸化式と数列
{an- (an+β)} を等比数列とする解法
例題はan+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとして,
an+1=3an+4nが, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
の値を定める。
④から
an+1-{α(n+1)+B}=3{an- (an+B)}
an+1=3an-2an+α-2β
*****
Aの形に変形できるように α,β
-2α=4, α-2β=0
点
ゆえに
功
これとan+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
よって
α=-2,β=-1
ゆえに
an-(-2n-1)=4.3"-1
f(n)=-2n-1
Aより、数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an=43-1-2n-1
したがって
